复数向量内积的几何意义是什么？

wufaxian · 发表于 2022-7-8 04:04

实数向量内积。可以看作一个向量向另一个向量上投影，投影的模长*被投影向量的模长，得到是一个实数。

问题是复向量内积，如果最终得到一个复数。那么其含义是什么呢？内积得到的新复数和原来两个复向量之间有什么关系呢？

yeyucaiji · 发表于 2022-7-10 10:22

你要知道复数是什么，他是实数与虚数的集，实数方面不说了，那么你要知道为什么引入虚数，是因为实数不能表示某些数，所以用虚数替，他们的本质是一样的，既然实数向量积的几何意义你知道了，虚数为什么不是一样的呢？以上概括易得，负向量内积几何意义与实数向量内积意义无本质区别，可以说一模一样

波斯猫猫 · 发表于 2022-7-10 20:24

实数向量内积。可以看作一个向量向另一个向量上投影，投影的模长*被投影向量的模长，得到是一个实数。

问题是复向量内积，如果最终得到一个复数。那么其含义是什么呢？内积得到的新复数和原来两个复向量之间有什么关系呢？

下面是教科书式的说法：
两个向量的内积。可以看作是一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量上投影的模长，结果是一个实数。
两个复数的乘积，结果是一个复数。
虽然复数与平面向量可以建立一一对应关系，但没有看到教科书上有“复向量内积“的说法，当然也不知其含义。

liangchuxu · 发表于 2022-7-10 20:52

我记得向量内积空间一般指的是实数域。因为它与向量长度与角度关联。长度是一个实量。复向量内积定义与复向量内积定义方法是否相同？

波斯猫猫 · 发表于 2022-7-10 21:24

向量：既有大小（模）又有方向的量叫做向量。由此定义知，向量没有“虚或实”之分，当然也就没有实向量和复向量之说。
两个向量的内积：两个向量的模与其夹角的余弦三者之积叫做这两个向量的内积（可以看作是一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量上投影的模长）。是实数。

wufaxian · 发表于 2022-7-10 22:12

波斯猫猫发表于 2022-7-10 21:24
向量：既有大小（模）又有方向的量叫做向量。由此定义知，向量没有“虚或实”之分，当然也就没有实向量和复 ...

那下边这个算不算复向量呢？

\(\begin{pmatrix}
1+2i\\
3+4i\\
7+3i\\
2+9i
\end{pmatrix}\)

波斯猫猫 · 发表于 2022-7-10 22:31

在百度上查查，什么都清楚了。

liangchuxu · 发表于 2022-7-11 18:27

wufaxian 发表于 2022-7-10 22:12
那下边这个算不算复向量呢？

\(\begin{pmatrix}

就“向量”数学概念而言，不存在复向量与实向量之分。人们将向量各个分量为实数还是复数而习惯称其为复或实向量。这是定义在不同数域的向量空间所致。内积定义也根据不同空间与实际研究需要而定，

wufaxian · 发表于 2022-7-12 00:43

liangchuxu 发表于 2022-7-11 18:27
就“向量”数学概念而言，不存在复向量与实向量之分。人们将向量各个分量为实数还是复数而习惯称其为复或 ...

问题是复向量内积，如果最终得到一个复数。那么其含义是什么呢？内积得到的新复数和原来两个复向量之间有什么关系呢？

liangchuxu · 发表于 2022-7-12 09:32

wufaxian 发表于 2022-7-12 00:43
问题是复向量内积，如果最终得到一个复数。那么其含义是什么呢？内积得到的新复数和原来两个复向量之间有 ...

是的，遇到一个陌生概念，我们首先想到的是意义，可以解决啥问题？现在问题是，如果复数域的向量内积按实数域向量内积来定义，看不出几何空间意义。以二维为例，向量的两个分量都是复数，在复平面上是个复合向量，即，分量本身构成向量。两个向量内积结果是一个复数。不知在物理学领域有何意义？

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