求极限 lim(n→∞)[C(n,1)C(n,2)…C(n,n)]^(1／n)／[e^(n／2)n^(-1／2)]

elim

题： 求极限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{\binom{n}{1}\binom{n}{2}\cdots\binom{n}{n}}}{e^{n/2}n^{-1/2}}\)

elim

题： 求极限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n^{\frac{n}{2}}\binom{n}{1}\binom{n}{2}\cdots\binom{n}{n}}}{\sqrt{e^n}}\)
解： 令  \(\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{\sqrt[n]{n^{\frac{n}{2}}\binom{n}{1}\binom{n}{2}\cdots\binom{n}{n}}}{\sqrt{e^n}}\)
\(\quad\)则 \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^{(n+1)/2}((n+1)!)^n}{e^{(n+1)^2/2}(1!2!\cdots n!)^2} \dfrac{e^{n^2/2}(1!2!\cdots(n-1)!)^2}{n^{n/2}(n!)^{n-1}}\)
\(\qquad = \dfrac{(1+\frac{1}{n})^n\sqrt{n+1}(n+1)^n}{\sqrt{e}e^n n!}\sim\dfrac{(1+\frac{1}{n})^n\sqrt{n+1}(n+1)^n}{\sqrt{e}e^n \sqrt{2\pi n}(n/e)^n}\)
\(\qquad = \dfrac{(1+\frac{1}{n})^{n/2}\sqrt{n+1}(1+\frac{1}{n})^n}{\sqrt{e}\sqrt{2\pi n}}\to \dfrac{e}{\sqrt{2\pi}}\;\;(n\to\infty)\)
\(\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e}{\sqrt{2\pi}}.\quad\square\)

elim

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luyuanhong

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elim

注记一： 2楼的解使用了阶乘的 Stirling 逼近公式．\(n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n\)

elim

注记二： 2楼的解运用了定理:  对正项序列恒有
\(\displaystyle\sup_{n\ge 1} \inf_{k\ge n} \frac{a_{k+1}}{a_k} \le \sup_{n\ge 1}\inf_{k\ge n}\sqrt[k]{a_k}\le\inf_{n\ge 1}\sup_{k\ge n}\sqrt[k]{a_k}\inf_{n\ge 1}\sup_{k\ge n}\frac{a_{k+1}}{a_k}\)

即  \(\displaystyle\underset{n\to\infty}{\underline\lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le\underset{n\to\infty}{\underline\lim}\sqrt[n]{a_n}\le\underset{n\to\infty}{\overline\lim}\sqrt[n]{a_n}\le\underset{n\to\infty}{\overline\lim}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\)

elim

各位网友，主贴的问题有其他求法吗？