给春风晚霞教授出一道悖论题

门外汉

题目如下：假设有无穷多个球和一个盒子，所有的球用自然数一一编号，盒子里最初放入1到10号球，要求在1分钟的时间里执行下述操作：当时间为1/2分钟时，从盒子里取出1号球同时放入11号球，当时间为3/4分钟时从盒子里取出2号球同时放入12号球，当时间为7/8分钟时从盒子里取出3号球同时放入13号球……当时间为1－1/2^n（2的n次方）分钟时从盒子里取出n号球同时放入10+n号球……，问，当时间为1分钟时，盒子里有多少球？

门外汉

对于这道题，有很多业余的网友说时间永远走不到1分钟。
但对于专业的数学教授来说，如果也这样说似乎不太合适

门外汉

期待教授解题

春风晚霞

先生过谦了，春风晚霞还是称你为赐题先生吧。先生所赐之题包括两个方面的信息。第一、时间为1分钟时盒子里有多少球？第二、时间按\(t_i\)=1-\(1\over 2^i\)规律取值，是否可达1分钟？这两个问题答案都是肯定的。①任何时刻盒子内都只有10个球，这个问题可用完全数学归纳法给予证明。②时间按\(t_i\)=1-\(1\over 2^i\) \( \quad\)i∈N规律取值，可达1分钟（要解答此问题，必须先证明极限可达性），因此时我在旅游景点。待返回住宿处再给出详细解答。望赐题先生稍候。

门外汉

教授所做的答案，大概率上是矛盾了。因为，在1分钟的时间里，操作的次数是无限次，假如说当时间为1分钟时，盒子里仍然是剩10个球，那么，这10个球的自然数编号是多少呢？不会是无穷大自然数吧？

门外汉

现代数学到底有没有矛盾，此题可以一见分晓，同时也欢迎e老师发表观点

春风晚霞

赐题先生：
       现行实数理论中无穷大（数学符号表示为“∞”）只是一种变化趋势，它并不表示某个具体的数。所以编号“是无穷大自然数”之说是不严谨（也是错误）的。
      【分析】根据题意从盒子内拿出一球的同时又放入一球。其时间节点为：\(t_i\)=1-\(1\over 2^i\) \( \quad\)i∈N；所以，任何时刻盒子内都只有10个球可用完全数学归纳法予以证明。
     【证明】设第i时刻盒子内球的个数为\(\small K_i\)（个）
（1）奠基，当i=1时，\(\small K_1\)=10-1+1=10（个）；当i=2时，\(\small K_2\)=\(\small K_1\)-1+1=\(\small K_1\)=10（个）；所以命题对i=1,i=2时成立；
（2）归纳假设：当i=x时命题成立；即\(\small K_x\)=\(\small K_{x-1}\)-1+1=10(个);
（3）递推归纳：当i=x+1时：\(\small K_{x+1}\)=\(\small K_x\)-1+1=\(\small K_x\)=10(个)；所以，命题对i=x+1时成立。
        综合（1）、（2）、（3）知命题对一切自然数n成立。所以任何时刻盒子内都只有10个球。【证毕】
      【注意：本题的关键在于\(\mathbf{拿出一球的同时又放入一球}\)，所以盒子内球的个数始终保持10个，与在哪个时刻实施操作和球的具体编号并无直接关系。】

jzkyllcjl

等式1/3 = 0.3333....  右端是康托尔基本数列0.3，0.33，0.333，……的简写，其极限是分数1/3,  但自然数n，趋向于∞， n永远达不到∞。所以现行教科书的等式1/3 = 0.3333....  右不成立。

elim

\(0.333\ldots\) 是级数和 \(\small\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n}\) 的简写。jzkyllcjl 对此的篡改无人认可。
有限小数不取极限达不到无限小数是废话。无尽小数 \(0.333\ldots\)  就是 1/3.

春风晚霞

门外汉 发表于 2022-7-15 10:53
现代数学到底有没有矛盾，此题可以一见分晓，同时也欢迎e老师发表观点

       关于“现代数学到底有没有矛盾”的问题，要看你说的矛盾是哲学家所说矛盾还是数学家所说的矛盾。哲学家所说的矛盾是指：事物内部或事物之间又统一又斗争的双方的关系（参见《辞海》﹝矛盾﹞词条：②），即哲学家所说矛盾是矛盾的同一性和斗争性的有机统一。根据矛盾的普遍性：万事万物都充满了矛盾，矛盾无处不在，无时不有。现代数学是万事万物中的一种事物，所以现代数学具有矛盾。而数学家所说的矛盾是指：相互抵触，互不相容（参见《辞海》﹝矛盾﹞词条：①）即单指矛盾的斗争性。由于数学体系要求系统完备自洽，不允许出现相互抵触，互不相容的情形。所以现代数学体系即使存在尚待完善（如连续统假还待解决）的细节，也不能说系统本身就是矛盾的。我不知先生通过本题能见到什么分晓？