坎泊的颜色交换与敢峰的可控换色的区别

雷明85639720

坎泊的颜色交换与敢峰的可控换色的区别
雷  明
（二○二二年七月十七日）

1、坎泊的颜色交换技术：
坎泊的颜色交换技术是坎泊在1879年为证明发生了颜色冲突的4—轮和5—轮构形（K—构形）的可约性而创造的从构形的某一个围栏顶点开始的对某一条色链中顶点的颜色交换。交换的目的是要想从围栏顶点中空出某一种颜色给待着色顶点着上。交换的条件是交换的链是与其对角围栏顶点所出发相同色链是不连通的。只是在链内对各顶点的颜色全部进行交换，直到链的末稍，没有可以空制的界限。总的来说，这一颜色交换技术，是为了解决构形的可约性而创造的，也是在解决构形的可约性时进行应用的。
2、敢峰先生的可控换色：
敢峰先生的可控换色是在1992年为构造他的“终极图”而创造的。换色是可控的，换色的顶点是受与换色的两种颜色相反的色链和待着色顶点所构成的环（可控界线）的限制的，只能是在可控界线的一侧进行换色，是不能越过可控界线的。换色的顶点不受可控界线内顶点的连通与不连通的限制，都可换色，但不能越过可控界线。可控换色是为构图而创造，也是在构图过程中才可使用的。
3、颜色交换和可控换色的最终结果：
坎泊的颜色交换没有一次是把一条色链的所有顶点没有交换完全的，敢峰的可控换色也没有一次是越过了可控界线而换色的。坎泊的颜色交换最终是从一个发生了颜色冲突的构形的围栏顶点中空出了一种颜色给待着色顶点着上，使一个图（构形）得到了可4—着色。而敢峰的可控换色最终则是把一个含有双环交叉链的可约的（可连续的移去两个同色）又发生了颜色冲突的5—轮构形构造成了一个仍含有双环交叉链的也是发生了颜色冲突的但不可连续的移去两个同色的终极构形。终极构形实际上就是1921年埃雷拉构造的E—图构形。
4、雷明对几种H—构形决办法：

有环形链的H—构形与无环形链的H—构形如图1，图2和图3所示（图1 和图2是有环形链的，图3是无环形链的）。有环形链的构形解决时，分别在环形链内、外交换与环形链呈相反色链的色链，就可使图转化为无双环交叉链的可约的K—构形（如图1—1，图1—2和图2—1，图2—2），然后再按解决可约的K—构形的办法处理就行了。

无环形链的构形解决时，用转型法。如图3从右边的B色顶点交换了B—C链后，图就转化成一个有环形链的H—构形（如图3—1），再按解决有环形链的办法处理就行了（如图3—2和图3—3）。


雷明还构造了一个从两个方向转型都需要大于10次转型或交换的构形（如图4），用以否定张彧典先生所说的任何构形转型时，总有一个方向的转型次数是小于等于9的结论。该构形逆时针方向转型进行到第9次转型时，图中有了两条B—C链，第十次转型时，应从右上角的D开始进行D—A链的交换。雷明按坎泊的颜色交换法，不管有几条B—C链存在，只在D—A链内进行交换，在进行了十二次转型交换后，空出了颜色A，可以给待着色顶点着上（如图4、图5、图6、图7、图8—1），也可以给待着色顶点着上D（如图8—2）。

而张先生，也承认雷明先生的转型操作没有错，但却说没有按敢峰先生的可控换色方法把换色进行到底。按张先生的换色法，他认为该图（构形）就不是有限次转型的，而是一个无穷周期循环转型的构形，就属于十折对称的E—族构形（张彧典先生的交换方法见下一节）。


5、张彧典先生错误的转型交换：

张先生认为要把处在最外面的B—C链以内的D、A顶点都要进行换色，所以他就不管是有边相连的D、A顶点，还是无边相连的D、A顶点，也不管是能不能用边连接起来的D、A顶点，更不管是不是在一条链上的D、A顶点，都统统的换了色（如图4、图5、图9、图10、图11 、图12）。最终得到了与图4的原图相同的图12，这以后就会产生无穷周期循环的转型了 。


张先生这样的交换方法，既违背了坎泊的颜色交换技术只在一条链内进行交换的原则，又违背了敢峰先生的可控换色只在相反色链的一侧进行换色的原则。两次转型中分别交换的孤立顶点D和A，既不与交换的链D—A相连，又是处在相反色链的两侧。完全没有按规定行事。所以他最后不可能在十二次转型时空出颜色来。不仅如此，即就是进行了二十次转型，转型也不会停止下来，而是处在以二十次转型为一个周期的无穷循环转型之中。所以说张先生的操作方法是错误的。
6、敢峰先生在构造终极图（E—图）的过程：
敢峰先生在构造终极图即E—图时，最开始的是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形（如图13）。他用顺时针转型法，在每一步的b中移去一个同色后，看另一个同色顶点到其对角顶点有没有连通链，若没有就在下一步的a中构造一条连通链；若有，就进行下一步的转型，先再移去一个同色。每次转型后都使图始终保持在有双环交叉链的状态，最后得到终极图（如图13、图14、图15 、图16、图17、图18、图19、图20、图21、图22等）。


在图16第三步a中构造B—C连通链的结果中，的确有四个顶点是在B—C链＋V环的外侧的，这四个顶点尽管还不是连通的，且还有一个顶点未着色，但在其是间却也没有B—C边相隔离，将来一定是可以用一条边连接起来的。所以敢峰先生就在第三步b进行交换时，直接把这四个顶点都换了色（如图17第三步b）。到了图18第四步a中构造C—A连通链时，自然就把那个还未着色的顶点着上了应有的颜色，再到了图20第五步a中构造A—D连通链时，自然而然的也就用边把这四个顶点连接起来了。这就是敢峰先生的可控换色的实质。
到此，图中已有的顶点都已着上了颜色，只是图还没有达到极大图。到了图21第十六步时，经已就构造成功了终极图，再经过四步转型，到了图22第二十步时就转化成了一个标准形式的BAB型的终极图了。



现在的问题是敢峰先生为什么把他构造出来的图（构形）叫做“终极图”呢，“终极”二字是什么意思，如何理解呢？
7、如何判断一个图是否是E—图构形：
E—图构形的特征是：不但有双环交叉链，又不能连续的移去两个同色，还有一条经过了围栏顶点的环形链或不经过围栏顶点的环形链（在BAB型的E1和E3中既有经过了三个围栏顶点的A—B环形链，又有不经过围栏顶点的C—D环形链；在BAB型的E2和E4中只有经过了两个围栏顶点的C—D环形链），这五种链的链长度也都是固定的了，是不能随便加长或变短的。这五种链是E—族构形的关键链。在这五种链中增加四色构件（增加顶点并进行4—着色）就破坏了E—族构形的特征链，构形就变成了非E—族构形了，一定是可以在有限次转型之内转化成可约的K—构形的。除此之外，在E—图中其他的地方增四色构件时（如在张先生的《“E—族构形”的放大》一文中，张先生所画的几个E—族构形的放大图），都只是表面上看是增加了四色构件，但E—族构形的主要“骨架”还在，关键的几条链仍然存在。所以他们虽然也不再是E—族构形了，但仍然是可以产生周期循环转型的构形。这就是我对E—族构形和非E—族构形的判别方法，与构形本身是不是十折对称没有任何关系。

雷  明
二○二二年七月十七日于长安

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