已知：ax=by=180 ，x+y=90 ，且 a,b,x,y∈N+ ，求 x 和 y 的值

波斯猫猫

已知：ax=by=180，x+y=90，且a，b，x，y∈N+，求x和y的值。

注：此题背景与“林开亮：为什么直角三角板只有两种？ 发表于 2022-7-16 10:14（ luyuanhong.数学中国论坛.数学期刊）“有关，并试图给出“为什么直角三角板只有两种？”的另一个解释。

朱明君

a=3，b=6，x=60，y=30，
a=4，b=4，x=45，y=45，

Future_maths

波斯猫猫

已知：ax=by=180，x+y=90，且a，b，x，y∈N+，求x和y的值。

思路：由ax=by=180，x+y=90 (a，b，x，y∈N+)，有1/a+1/b=1/2，即b=2+4/(a-2)。

当a=3时，b=6；当a=4时，b=4；当a=6时，b=3。

从而x=60，y=30 (x=30，y=60)，或x=y=45。

波斯猫猫

已知：ax=by=180，x+y=90，且a，b，x，y∈N+，求x和y的值。

思路：由ax=by=180=2×2×3×3×5，x+y=90 (a，b，x，y∈N+)知，x与y的值可能是

90，60，45，36，30，24。经简单计算只有x=60，y=30 (x=30，y=60)，或x=y=45。

波斯猫猫

林开亮：为什么直角三角板只有两种？ 发表于 2022-7-16 10:14（ luyuanhong.数学中国论坛.数学期刊）
林开亮给出的一个解释的切入点是：从三边的比出发，l1:l2:l3=√d1:√d2:√d3，其中d1，d2和d3是正整数。

本贴实际上给出了“为什么直角三角板只有两种？”的另一个解释：在直角三角板中，给
予各内角适当的倍数（2倍，或3倍，或4倍，或6倍）都能得到180°(三角形的三内角和)的，
只有常见的两种直角三角板，即锐角为30°，60°；45°，45°。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的帖子和 Future_maths 的解答都很好！已收藏。

uk702

感觉楼上的解法都做麻烦了。

不妨设 a ≤ b，则有 360 = ax +by ≧ a(x+y) = 90a，∴ a ≤ 4。
若 a = 1，则 x = 180，y = -90，与题目要求矛盾，无解。
若 a = 2，则 x = 90，y = 0，与题目要求矛盾，无解。
若 a = 3，则 x = 60，y = 30，b = 6，符合题目要求。
若 a = 4，则 x = 45，y = 45，b = 4，符合题目要求。

luyuanhong

楼上 uk702 的解答很好！已收藏。

朱明君

设m(m+1)=d，x=2，其中m为大于等于1的正整数，且2m+1=y,
则dx^2+1=y^2

m=1，则d=2，代入公式得2ⅹ4+1=3^2，
m=2，则d=6，代入公式得6ⅹ4+1=5^2，
m=3，则d=12，代入公式得12ⅹ4+1=7^2，
m=4，则d=20，代入公式得20ⅹ4+1=9^2，
……。