求多项式 s(n) 使得 s(n) = 1^8+2^8+....+n^8

elim

利用 Bernoulli 公式及 Mathematica 得到
\(S_8(n)=\dfrac{n (n+1) (2 n+1) (5 n^6+ 15 n^5+ 5 n^4- 15 n^3- n^2+ 9 n -3)}{90}\)

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2022-7-22 12:01

Table[Table[n! StirlingS2[k, n], {n, 1, k}], {k, 1, 11}]

{1}
{1, 2}
{1,  6,  6}
{1, 14, 36,  24}
{1, 30, 150, 240,  120}
{1,  62, 540, 1560,  1800,    720}
{1, 126,1806, 8400, 16800,  15120,   5040}
{1, 254, 5796, 40824,126000, 191520,  141120,    40320}
{1, 510, 18150,186480, 834120, 1905120,  2328480,  1451520,    362880}
{1,1022, 55980, 818520, 5103000, 16435440, 29635200, 30240000,  16329600,  3628800}{1,2046,171006,3498000,29607600,129230640,322494480,479001600,419126400,199584000,39916800}

luyuanhong

楼上王守恩的理解不错，第 2 楼中的系数 T(p,k) 确实与第二类斯特林数 S(n,k) 有关。

其实有    T(n,k)=n! S(n,k) 。

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

王守恩

luyuanhong 发表于 2022-7-23 10:22
楼上王守恩的理解不错，第 2 楼中的系数 T(p,k) 确实与第二类斯特林数 S(n,k) 有关。

其实有    T(n,k)= ...

谢谢陆老师！

Table[k! StirlingS2[n, k], {n, 11}, {k, n}]
{1}
{1, 2}
{1,  6,  6}
{1, 14, 36,  24}
{1, 30, 150, 240,  120}
{1,  62, 540, 1560,  1800,    720}
{1, 126,1806, 8400, 16800,  15120,   5040}
{1, 254, 5796, 40824,126000, 191520,  141120,    40320}
{1, 510, 18150,186480, 834120, 1905120,  2328480,  1451520,    362880}
{1,1022, 55980, 818520, 5103000, 16435440, 29635200, 30240000,  16329600,  3628800}{1,2046,171006,3498000,29607600,129230640,322494480,479001600,419126400,199584000,39916800}

Table[StirlingS2[n, k], {n, 11}, {k, n}]
{1}
{1,  1}
{1,  3, 1}
{1,  7,  6,  1}
{1, 15, 25, 10,  1}
{1, 31, 90,  65,  15,      1}
{1, 63, 301, 350, 140,    21,          1}
{1, 127, 966, 1701, 1050, 266,       28,          1}
{1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646,      462,       36,       1}
{1, 511, 9330, 34105, 42525, 22827,   5880,    750,     45, 1}
{1,1023,28501,145750,246730,179487,63987,11880,1155,55, 1}