已知实数 x,y,z 满足 x^3/9-y^2/3-y=1，y^3/9-z^2/3-z=1，z^3/9-x^2/3-x=1，求 x,y,z

dodonaomikiki

【浙江夏令营】题目形式看起来异常舒爽，不知做起来咋样



这样的题目，思路不见

dodonaomikiki

三元三次方程组？
形式上看，
具有轮换对成性

dodonaomikiki

  继续支持

波斯猫猫

题：已知实数 x,y,z 满足 x^3/9-y^2/3-y=1，y^3/9-z^2/3-z=1，z^3/9-x^2/3-x=1，求 x,y,z。

思路（答案A，D）：

由条件得，x^3-3y^2-9y=9(x^3≥9/4)，y^3-3z^2-9z=9(y^3≥9/4)，z^3-3x^2-9x=9(z^3≥9/4)，

即x^3-y^3=3(y-z)(y+z+3)，y^3-z^3=3(z-x)(z+x+3)，z^3-x^3=3(x-y)(x+y+3)。

对上述前两个式子(注意到x,y,z∈R+)，不妨这样考虑，若x＞y，则y＞z，进而z＞x，这与

x＞z自相矛盾。根据对称性，可做同样讨论，结果相同。故只有当x=y=z时，上述诸等式才成立。

这样，问题化为方程x^3-3x^2-9x-9=0的解，解得唯一实数解x=16^(1/3)+4^(1/3)+1。

故，x=y=z=16^(1/3)+4^(1/3)+1。即答案为A和D。


注：大意了，忘了没有把16^(1/3)+4^(1/3)转化回来。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

不过帖子中最后的答案有些笔误：

应该是 x=y=z=16^(1/3)+4^(1/3)+1 。

dodonaomikiki

                                 
\(     已知实数 x,y,z 满足  \)
\(\frac {x^3}{9}  -  \frac { y^2}{3}  -y=1   \)
\(\frac {y^3}{9}  -  \frac { z^2}{3}  -z=1     \)
\(  \frac {z^3}{9}  -  \frac { x^2}{3}  -x=1     \)
求\( x,y,z   \)

\(   （答案A，D）  \)

由条件得
\( x^3-3y^2-9y=9(x^3≥9/4) \)
\(y^3-3z^2-9z=9(y^3≥9/4) \)
\(z^3-3x^2-9x=9(z^3≥9/4)  \)
即
\( x^3-y^3=3(y-z)(y+z+3) \)
\(y^3-z^3=3(z-x)(z+x+3) \)
\(z^3-x^3=3(x-y)(x+y+3) \)
对上述前两个式子(注意到\( x,y,z∈R+\))，
不妨这样考虑，若\(x＞y，则y＞z，进而z＞x，\)
这与\( x＞z \)自相矛盾。
根据对称性，可做同样讨论，结果相同。
故只有当\( x=y=z \)时，上述诸等式才成立。


这样，问题化为方程\( x^3-3x^2-9x-9=0\)的解，
解得唯一实数解\( x=16^{  \frac  {1}{3}  }+4^{  \frac  {1}{3}  }+1 \)

故\( x=y=z=16^{  \frac  {1}{3}  }+4^{  \frac  {1}{3}  }+1。即答案为A和D \)

dodonaomikiki

wo吧熊猫老师の解答搞成LATEX


非常感谢熊猫老师

dodonaomikiki

这个三次方程の根の分布情况
图形展示哈

dodonaomikiki

精确的来看，
这个数值也就是解，驻扎在    \(           5，10        \)       附近

dodonaomikiki

\(        ROOT1=   2 \sqrt[3]{2}    +\frac{2}{\sqrt[3]{2} }     +1                               \)
\( \Longrightarrow                                      \)
\(                      ROOT2=   \frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)ROOT1                          \)
\(   ROOT3=   \frac{1}{2}(-1-\sqrt{3}i)ROOT1                                    \)





根据求出的实 根，
求出另外两个虚根