\(\Large\mathbf{雏议“无限与有限、精确与近似”的辩证关系}\)

春风晚霞

一、无限与有限的辩证关系
1、什么是有限
定义：有限，指有条件的、在空间和时间上都有一定限度、有始有终的。
2、什么是无限
定义：无限，指无条件的、在空间和时间上都没有限制、无始无终的。
3、无限与有限的辩证关系
无限由有限构成，物质世界整体是无限的，但由无数具体有限的物质客体构成。有限是构成无限的环节、部分和因素，有限包含和体现着无限。有限事物的运动变化，使有限的界限不断被打破并否定而趋于无限。
【注】
①、上述1、2、3参见《汉语大辞典》﹝有限与无限﹞词条。
②、3是辩证无穷观关于无限双相性的认识，哲学上始于黑格尔（Hegel）无限是“进展之自我完成（going-together-with-itself）, 复合词“进展”意即“延伸”（潜无限）；“完成”意即过程的理想终结而成为整体自身（实无限）。数学上的双相无穷观在刘徽（公元250年左右）时代就已有认识。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”亦是这种双相无穷观在数学中的反映：其中“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割”即表达“延伸”（潜无限）的思想；而“与圆合体而无所失”则表示过程的理想终结而成为整体自身（实无限）之意。
③、现行教科书上的等式1/3=0.3333……； √2=1.41421356……；\(\pi\)= 3.14159265……；……亦是双相无穷观在数学计算上的具体体现。上列各式右端的省略号“……”表示无限“延伸”（潜无限）；等号（=）则表示过程的理想终结而成为整体自身（实无限）。所以，现行教科书关于无穷地介绍没有改写的必要。

春风晚霞

二、精确与近似的辩证关系
1、什么是“精确”：精确就是非常准确；非常正确。
2、什么是“近似”: 相近或相像但不相同。
3、准确值：数学中由定义内涵确定的值叫准确值。数学中某一概念的准确值是客观存在的，与使用这一概念的人的学识水平、学术派别无关。
4、近似值：计算上接近准确值的数值叫做近似值，如3.1416是圆周率值的近似值。
5、精确与近似的辩证关系
数学上精确与近似这一对矛盾中：精确是矛盾的主体（或主要方面），近似是矛盾的从属（或矛盾的次要方面）。所以，在解决数学问题时应该抓住矛盾的主体，顺带解决矛盾的从属。如抓住√2、\(\pi\)、sin\(\pi\over 12\)……准确值，我们才能完成√2、\(\pi\)、sin\(\pi\over 12\)……的有效十进制展开。如：
例1、已知√2=1.41421356……；√5=2.236067977……；求计算：\((\small\sqrt 2\)×\(\small\sqrt 5)^8\)
【解:】\(\small(\sqrt 2\)×\(\small\sqrt 5)^8\)= \((\small\sqrt 2)^8×(\small\sqrt 5)^8\)= \(\small 2^4×5^4\)=16×625=10000
【注意】如果本题按\(\small(\sqrt 2\)×\(\small\sqrt 5)^8\)=(\( 1.41421356……)^8×(2.236067977……)^8\) 依次计算，必然遭遇运算无法进行的尴尬。
例2、①、计算cos\(\pi\over 12\)的值；②、计算Ln\(\sqrt 3\)+Ln\(\sqrt 5\)（精确到小数点后第10位）。
【解:】①、因为2\(\small\ cos^2\)\(\small\pi\over 12\)=1+cos\(\small\pi\over 6\),所以，cos\(\small\pi\over 12\)= \(\small\sqrt{\dfrac{2+\small\sqrt 3}{4}}\)
②、Ln\(\small\sqrt 3\)+Ln\(\small\sqrt 5\)=Ln（\(\small\sqrt 3×\small\sqrt 5\)）=Ln\(\small\sqrt{15}\)=\(\small 1\over 2\)×Ln15≈1.3540251006。
【注意】(1)、在根式运算中如遇非完全平方数的平方根地计算，当题设中没告诉精确度时，结果应保留根式，否则视为错误（因未指明精确度，则题设条件默认是精确计算，所以必须保留根式。）
(2)、若不承认\(\small\pi\)、√2……等准确值，则我们就不能完成如sin\(\small\pi\over 6\)、cos\(\small\pi\over 3\)、\((\small\sqrt 2)^{2n}\)……的精确计算。
(3)、含有无理数地计算，应在计算结果时根据指定精确度采用四舍五入法，以确保“精确”程度。
6、无理数的十进制展开
人类数学认识的过程是先认识精确数,如\(\sqrt 5\)、\(\pi\)、sin\(\pi\over 12\)……，由于工程和物理需要，人类需要把\(\sqrt 5\)、\(\pi\)、sin\(\pi\over 12\)……这样的无理数展开成十进制小数，于是有了“无尽不循环小数叫无理数”的概念。
例3、把下列确定的数（或式）展开成无穷级数：①、\(\small\sqrt 5\)；②、\(\small\pi\)；③、f(x)=Ln(1+x)
【解】①、因为\(\small\sqrt 5\)= \(\small\sqrt{（4+1)}\)= \(\small\sqrt{4(1+\small\dfrac{1}{4}}\))=2\(\small\sqrt{(1+\small\dfrac{1}{4}}\))
根据公式\(\sqrt{1+x}\)=1+\(\dfrac{1}{2}x\)-\(\dfrac{1}{2\centerdot 4}x^2\)+ \(\dfrac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}x^3\)- \(\dfrac{1\centerdot 3\centerdot 5}{2\centerdot 4\centerdot 6\centerdot 8}x^4\)+……
所以，\(\sqrt 5\)= 2\(\sqrt{(1+\dfrac{1}{4}}\))=2[1+\(\dfrac{1}{2}\centerdot\dfrac{1}{4}\)-\(\dfrac{1}{2\centerdot 4}\centerdot(\dfrac{1}{4})^2\)+ \(\dfrac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}\centerdot(\dfrac{1}{4})^3\)- \(\dfrac{1\centerdot 3\centerdot 5}{2\centerdot 4\centerdot 6\centerdot 8}\centerdot(\dfrac{1}{4})^4\)+……]= 2.2360679774……。
②由arctnx=\(\int_0^x \tfrac{1}{1+x^2}dx\)=x-\(\tfrac{x^3}{3}\)+\(\tfrac{x^5}{5}\)-\(\tfrac{x^7}{7}\)+……（-1≤x≤1）
因arctn1=\(\tfrac{\pi}{4}\)；所以\(\pi\)=4[1-\(\tfrac{1}{3}\)+\(\tfrac{1}{5}\)-\(\tfrac{1}{7}\)+……]=3.1415926……
③因为f(x)=Ln(1+x)；所以\(f'(x)\)=\(\dfrac{1}{1+x}\)=1-x+\(x^2\)-\(x^3\)+……\(\;\)（-1<x<1）
所以，f(x)=Ln(1+x)= \(\int_0^x f'(x)dx\)=\(\int_0^x\dfrac{1}{1+x}dx\)=x-\(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\)+……\(\;\)（-1<x≤1）注意：当x=1时，f(1)=Ln2,所以此时无穷级数依然成立。故f(x)的收敛域为（-1<x≤1）。

李利浩

既然无限由有限构成，那么，有限的数到底到多少位，才能称之为无限小数？

春风晚霞

李利浩 发表于 2022-7-30 18:56
既然无限由有限构成，那么，有限的数到底到多少位，才能称之为无限小数？

“无限由有限构成”是指构成无限的每项（或每部分）是有限的，构成无限的项数（或部分数）是无限的。就其无限小数而言，无限小数每个数位上的数字的值是有限的，无限小数的位数是无限的。也就是说：有限个有限只能构成有限，只有无穷多个有限才能构成无限无限。

jzkyllcjl

春风晚霞：你说【只有无穷多个有限才能构成无限无限】，那么你的 “无穷多个有限”的无限多个能背完成吗？ 有终结吗？你的【过程的理想终结而成为整体自身（实无限）】违背实践的事实。 现行教科书中“称无尽小数未实施”的定义，造成了布劳威尔反例与连续统假设的大难题，所以这个定义违背事实，没有√2、π的无尽小数之前就有了这些无理数的近似值，不是你说的先有无尽小数。

elim

jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣．90多岁了，没弄对过任何数学概念．他活该因篡改和造谣被抛弃．

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-7-31 09:45
春风晚霞：你说【只有无穷多个有限才能构成无限无限】，那么你的 “无穷多个有限”的无限多个能背完成吗？  ...

【只有无穷多个有限才能构成无限】这是黑格尔、恩格斯的辩证无穷观。 “无穷多个有限”是能被完成的。如单位圆周上有无穷多个点，当我们用圆规在纸上旋转一周，我们就得到一条封闭曲线。按你们所谓潜无穷观的认知，圆周上的点永远处于构造之中，所以你们永远不能画出一个圆。也永远做不出和圆有关的各种物品。你成天实践、实践，你画过圆吗？圆画出来了、和圆有关的物品做出来了，那么画圆（或做圆相关的物品）的工作也就 终结了。【过程的理想终结而成为整体自身（实无限）】这是双相无穷观的基本信条，它是符合黑格尔、恩格斯、徐利治等学者实践事实的。 现行教科书中“称无尽小数为实数”的定义，是满足实数的完备性和纯粹性的。√2、π本身就是准确值，如果根据”狗要吃屎“的事实，和你”要吃狗屎“地实践，你是得不到cos\(\pi\over 3\)=\(1\over 2\),sin\(\pi\over 2\)=1;……这些准确值的。√2、π的无尽小数之前就有了这些无理数的近似值？你能说说你的这些认知源于何典吗？任给你一个三角函数值，或任给你一个非完全平方数的算术平方根，你能写出它们的“曹托尔”基本数列吗？不妨你写一个给我们看看！

jzkyllcjl

春风晚霞：π的无尽小数表达式从来没有人算到底，刘辉、祖冲之算出的是有有尽位，近代法国人使用电子计算机计算到50万位数字，茅以升在《十万个为什么》中指出“50万位小数完了吗？没完。永远算不完的，这是个‘无尽’”的数啊！”由于无穷级数算不到底，你说的π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）不成立。 现行教科书中“称无尽小数未实施”的定义，造成了布劳威尔反例与连续统假设的大难题，所以这个定义违背事实，没有√2、π的无尽小数之前就有了这些无理数的近似值，不是你说的先有无尽小数。，

春风晚霞

Jzkyllcjl, 【π的无尽小数表达式从来没有人算到底】，并不意味着π就没有底。刘徽割圆术所说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。这里的“所失弥少”、“与圆合体，而无所失”均表明圆周与直径的比是一个确定的常数。2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程师爱玛(Emma HarukaIwao)在谷歌云平台的帮助下,圆周率计算到小数点后31.4万亿位，其精度远比你那个【近代法国人使用电子计算机计算到50万位数字】高得多。半圆所对的圆心角如果用弧度(单位是rad)表示，它是一个无尽小数，但如果用角度表示它是\(180^o\)。从刘徽割圆示意图我们看到，一个圆圆周与直径之比与圆的内接正多边形的边数没有关系。所以用圆的内接正多形的周长逼近圆周，必然会产生误差。这就是刘徽所说的“割之弥细，所失弥少”，当到达“割之又割，以至于不可割”即内接正多边形的边长为趋向于零时，这时内接正多边形的周长便是圆周长。由正切函数的泰勒级数得π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）是成立的，因为正切函数的幂级数是收敛的。收敛级数的余项为零。【布劳威尔反例与连续统假设的大难题】与【现行教科书中“称无尽小数未实施”的定义】无关。人类对数的认识最先认识的是整数，分数，毕达歌拉斯万物皆数就是讲的这个史实。所有无理数的定义值都是准确值，它们的十进制展开都有“写不到底”的特征。Jzkyllcjl,无穷级数是把无理数展开成无限十尽制小数行之有效的方法，谷歌工程师爱玛(Emma HarukaIwao)在谷歌云平台下，根据无穷级数的机理把圆周率计算到小数点后31.4万亿位，你用你的“曹托尔”基本数列办得到吗？你总强调无穷级数“写不到底”，你为什么从不去想对于任意无理数，你的“曹托尔”数列还开不了头呢？

jzkyllcjl

春风晚霞： 你引用的表达式 π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）右端的无穷级数具有永远算不到底的性质，31.4万亿位，不是无尽位。