已知实数 m,n 满足 m^2+n^2=2+mn ，求 5m^2-12mn+5n^2 的最大值

鞋子睿

已知实数m,n满足m²+n²=2+mn，则(2m-3n)²+(m+2n)(m-2n)的最大值为

鞋子睿

如图文字排版有点乱

lihp2020

展开   右边=5n^2−12mn+5m^2
             =5（n^2+m^2-mn）- 7nm=10-nm
现在 只需要求mn的最小值了
怎么求最小值 我记得 陆老师 有个拉格朗日乘法 可以算 但是 我不会

马奕琛

。。。。

lihp2020

1 我不知道 我那个 公式为啥出了乱码 还写错了
RHS=10-7mn
2 \(m^2+n^2 =2+mn \) 可以得到\(m^2+n^2 +2mn=2+3mn  \) 得到mn>=-2/3（\(m=-n\ \ \left| m\right|=\left| n\right|=\sqrt{\frac{2}{3}}\ \) 时取等）
10-7(-2/3) =44/3

波斯猫猫

题：已知实数 m,n 满足 m^2+n^2=2+mn ，求 5m^2-12mn+5n^2 的最大值。

思路：显然 m,n 不能全为0，则可令m=rsinθ，n=rcosθ（r＞0），代入 m^2+n^2=2+mn

中有，r^2=2+r^2sinθcosθ，即sin2θ=2(r^2-2)/r^2，或-1≤2(r^2-2)/r^2≤1。

解得，2/√3≤r≤2。

故，5m^2-12mn+5n^2=5(m^2+n^2)-12(m^2+n^2-2)=24-7(m^2+n^2)

=24-7r^2≤24-7.4/3=44/3(当m=√2/√3，n=-√2/√3，或m=-√2/√3，n=√2/√3时取最大值)。

luyuanhong

波斯猫猫

题：已知实数 m,n 满足 m^2+n^2=2+mn ，求 5m^2-12mn+5n^2 的最大值。

思路：由 m^2+n^2=2+mn ，有( m+n )^2=2+3mn≥0，即mn≥-2/3，

或-7mn≤14/3 (当且仅当m=-n，m=±√2/√3时等号成立)。

故， 5m^2-12mn+5n^2=5(2+mn )-12mn=10-7mn≤10+14/3=44/3。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。