春风晚霞 为什么删去自己的一个帖子

jzkyllcjl

春风晚霞：你为什么删去了你的定积分分部计算的帖子。

春风晚霞

高兴。我删除我的帖子，难道还要向你报备？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-8 02:48
高兴。我删除我的帖子，难道还要向你报备？

我想从你删去的原因中学到知识。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-8 11:01
我想从你删去的原因中学到知识。

设被积函数的原函数为F(x)，则有:
\begin{split}
&\qquad F(x)=\small\int\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx=\small\int\small\dfrac{1}{x^2}\small\sqrt{x^4+1}dx&(1)\\
&\small\raise{6pt}{\underline{\underline{\small\mathbf{ \hspace{0.5cm} {分部积分}\hspace{0.5cm} }}} }
-\small\dfrac{1}{x}\small\sqrt{x^4+1}+\small\int\dfrac{2x^2}{\small\sqrt{x^4+1}}dx\qquad&(2)\\
&\small\raise{6pt}{\underline{\underline{\small\mathbf{ \hspace{0.5cm} {换元用公式*}\hspace{0.5cm} }}} }-\small\dfrac{1}{x}\sqrt{x^4+1}+xLn|{t+\sqrt{t^2+1}}|-\small\int\ln|{t+\sqrt{t^2+1}}|dt&(3)\\
&\raise{6pt}{\underline{\underline{\mathbf{ \hspace{0.5cm} {分部积分}\hspace{0.5cm} }}} }-\small\dfrac{1}{x}\sqrt{x^4+1}+xLn|{t+\sqrt{t^2+1}}|-\small tln|{t+\sqrt{t^2+1}}|+\sqrt{t^2+1}&(4)\\
&\raise{6pt}{\underline{\underline{\mathbf{ \hspace{0.5cm} {x^2代t}\hspace{0.5cm} }}} }-\small\dfrac{1}{x}\sqrt{x^4+1}+xLn|{x^2+\sqrt{x^4+1}}|-\small x^2ln|{x^2+\sqrt{x^4+1}}|+\sqrt{x^4+1}&(5)\\
&\raise{6pt}{\underline{\underline{\mathbf{ \hspace{0.5cm} {合并}\hspace{0.5cm} }}} }\small(1-\dfrac{1}{x})\sqrt{x^4+1}+(x-x^2)Ln|{x^2+\sqrt{x^4+1}}|&(6)
\end{split}所以，F(x)=\(\small(1-\dfrac{1}{x})\sqrt{x^4+1}+(x-x^2)Ln|{x^2+\sqrt{x^4+1}}|\)+C

于是:\(\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=F(b)-F(a)=\(\small(1-\dfrac{1}{b})\sqrt{b^4+1}+(b-b^2)Ln|{b^2+\sqrt{b^4+1}}|+\)\(\small(\dfrac{1}{a}-1)\sqrt{a^4+1}+(a^2-a)Ln|{a^2+\sqrt{a^4+1}}|\)。

附:公式*\(\small\int\small\dfrac{dx}{\small\sqrt{x^2+1}}\)=\(\small Ln|x+\small\sqrt{x^2+1}|\)

【证明:】\(\small\int\small\dfrac{dx}{\small\sqrt{x^2+1}}\)=\(\small\int\dfrac{x+\small\sqrt{x^2+1}}{x+\small\sqrt{x^2+1}}\)\(\small\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)=\(\small\int\dfrac{1}{x+\small\sqrt{x^2+1}}\)\((1+\small\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}})dx\)
=\(\small\int d(Ln|x+\small\sqrt{x^2+1}|)\)=\(\small Ln|x+\small\sqrt{x^2+1}|\)。即\(\small\int\small\dfrac{dx}{\small\sqrt{x^2+1}}\)=\(\small Ln|x+\small\sqrt{x^2+1}|\)【证毕】
      因用LaTex语言编写解题过程，代码较多，也易出错。本解答仍可能存在不如意之处，故此只作引玉之砖，望网友雅正。

jzkyllcjl

春风晚霞：让你费心了，谢谢你。但我希望你再作两件事。第一，请你验证一下，你求出的F（x）的导函数是不是与原有被积函数一致？第二，若a=0,,b=1,则这个定积分属于广义积分，那么这个广义积分存在吗？

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-11 09:28
春风晚霞：让你费心了，谢谢你。但我希望你再作两件事。第一，请你验证一下，你求出的F（x）的导函数是不是 ...

无暇，自酌。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-12 04:16
无暇，自酌。

春风晚霞； 对你原函数计算，我提出了两个继续的工作；（1），请你验证一下，你求出的F（x）的导函数是不是与原有被积函数一致？（2），若a=0,,b=1,则这个定积分属于广义积分，那么这个广义积分存在吗？
你回答说“无暇”，那么，你对你的计算负责吗？

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-12 15:36
春风晚霞； 对你原函数计算，我提出了两个继续的工作；（1），请你验证一下，你求出的F（x）的导函数是不 ...

真是无聊。暇者，空闲之意也。无暇者暂时无空闲之意也。你能指出我帖中错误，我当受教于你。稍有闲暇，我将重新审察该解全程(包括Latex代码)，新解届时贴出。你的笫二问，令a=0与原题不符。因被积函数的背境是双线y=1/x。函数定义域为(-∞，0) U(0，+∞)，所以a=0不在定义域内。所以，你要标新立异，还是你自已考虑吧!

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-12 08:09
真是无聊。暇者，空闲之意也。无暇者暂时无空闲之意也。你能指出我帖中错误，我当受教于你。稍有闲暇， ...

春风晚霞：我多次出错误，错误在所难免。你计算中的（3）式中的第三项是不是有问题，请你对照分部积分公式。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-12 18:03
春风晚霞：我多次出错误，错误在所难免。你计算中的（3）式中的第三项是不是有问题，请你对照分部积分公 ...

我计算中的（3）式中的第三项确实有问题，第三\(\int\)Ln|t+\(\sqrt{t^2+1}\)|dt应为\(\int\)Ln|t+\(\sqrt{t^2+1}\)|dx，一处错，步步错。谢谢雅正。