已知 n^2+1,n^2+7,n^2+13,n^2+19,n^2+25 为等差数列，每一项均为质数，求 n 的最大值

Bathan_Tam

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luyuanhong

波斯猫猫

题：已知 n^2+1,n^2+7,n^2+13,n^2+19,n^2+25 为等差数列，每一项均为质数，求 n 的最大值。

思路：令n^2+1=5m+t (m，t∈N，且0≤t≤4)，则n^2+7=5(m+1)+t+1，n^2+13= 5(m+2)+t+2，

n^2+19= 5(m+3)+t+3，n^2+25= 5(m+4)+t+4。

显然，在5个连续自然数t，t+1，t+2，t+3，t+4中必有一个能被5整除，

故，n^2+1,n^2+7,n^2+13,n^2+19,n^2+25 中必有一个能被5整除。

因每一项均为质数，故是质数且能被5整除的数只能是5。

所以，n^2+1=5。解得n=±2。即n=2为所求（5，11，17，23，29）。

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5个连续自然数中必有一个能被5整除。

luyuanhong

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时空伴随者
公差为6的等差数列，其连续5项必有1项是5的倍数。  发表于 2022-8-14 10:08

a1=1/2，an=(12n-11)/2。这个数列就是一个以6为公差的等差数列。可它没有是5的倍数的项。