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标题: 求证：4 个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 24 的倍数 [打印本页]

作者: 王守恩 时间: 2022-8-14 10:47
标题: 求证：4 个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 24 的倍数
求证：4个不同的正整数通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。

作者: kanyikan 时间: 2022-8-17 21:28
目测结论不对

作者: 王守恩 时间: 2022-8-18 08:43

kanyikan 发表于 2022-8-17 21:28
目测结论不对

能举个例子吗？

作者: luyuanhong 时间: 2022-8-18 08:52

王守恩发表于 2022-8-18 08:43
能举个例子吗？

例如 12，17，19，23 ，怎样算出 24 的倍数？

作者: elim 时间: 2022-8-18 09:21

luyuanhong 发表于 2022-8-17 17:52
例如 17，19，23，24 ，怎样算出 24 的倍数？

全部乘起来。

作者: luyuanhong 时间: 2022-8-18 09:28

elim 发表于 2022-8-18 09:21
全部乘起来。

我已经在第 4 楼中作了修改。

作者: 时空伴随者 时间: 2022-8-18 10:02
本帖最后由时空伴随者于 2022-8-18 10:06 编辑

101，103，107，109也行，(101+107)×(109-103)=24×52

作者: lihp2020 时间: 2022-8-18 10:47
这个我记得可以证明我也证明过大概思路
1 任意4个数  可以选出两个数能组合出4的倍数
2 任意两个数都能组合成3的倍数
如果有人看见这个思路能证明  我就不给结果了
tips 0是任何数的倍数  0 也是24的倍数

作者: lihp2020 时间: 2022-8-18 15:02
对任意4个数中一定存在某两个数能组成4的倍数

1 假如原来就有一个数是4的倍数
那么当前数在随便找一个数相乘就一定是4的倍数
2 如果没有  4个数一定除4 余 1 2 3容斥原理
一定存在两个数关于4 同余
那么这两个数相减也一定是4的倍数

对任意2个数  能组成3的倍数
两个数如果有3的倍数就相乘
如果没得余数是1 2  如果同余相减不同于相加也能构成3的倍数

..... 这个才是12的倍数不是24的倍数

那再搞
任意两个数只能能组成3的倍数不能搞出6的倍数
也就是对任意4个数中一定存在某两个数能组成8的倍数
对8同余有1234567  (17)(26)（35）4
这样4组  如果每组都有一个  那么 4 和(26)的相乘就有8的倍数
如果不是  一定有一组有两个
如相同就A-B  如果不相同就是A+B 这样都能组合成8的倍数

也就是对任意4个数中一定存在某两个数能组成8的倍数
对任意2个数  能组成3的倍数

作者: 时空伴随者 时间: 2022-8-18 16:28
任意4个数除以8，余数有以下几种可能：
1、至少1个为0；2、全不为0，但有2个同余；3、4个奇数互不相等；4、3奇互不相等1偶；5、2奇不等2偶不等；6、1奇3偶不等。
6种情形，均可构造出8的倍数，逐一排除即可。
比如2偶不等，2×4，2+6，或4×6；3奇互不相等，必有3+5或1+7
同理任意2个数，可构造出3的倍数。

作者: 王守恩 时间: 2022-8-18 20:04
4个不同的正整数通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。
4个不同的正整数通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来，24是最大了吗？

作者: elim 时间: 2022-8-19 01:12

时空伴随者发表于 2022-8-18 01:28
任意4个数除以8，余数有以下几种可能：
1、至少1个为0；2、全不为0，但有2个同余；3、4个奇数互不相等；4 ...

8 的倍数与 3的倍数必须是同一个构造。

作者: luyuanhong 时间: 2022-8-19 10:13
[attach]116136[/attach]

[attach]116137[/attach]

作者: 王守恩 时间: 2022-8-19 20:12
4个不同的正整数通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。
4个不同的正整数通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来，24是最大了吗？
5个不同的正整数通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出 n 的倍数来， n 最大是几？

作者: 王守恩 时间: 2022-8-20 08:39
退一步：3个不同的正整数通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出8的倍数来？

作者: 王守恩 时间: 2022-8-20 15:06
1个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大可以算出 1 的倍数。
2个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大可以算出 3 的倍数。
3个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大可以算出 8 的倍数。
4个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大可以算出 24 的倍数。
5个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大可以算出 80 的倍数。
6个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大可以算出 278 的倍数。

1, 3, 8, 24, 80, 278, 997, 3670, 13782, 52588, 203314, 794726, 3135540,
12470444, 49942305, 201233170, 815205699, 3318291966, 13565162636,
55669063762, 229257178198, 947142023262, 3924380904498, ......

\(\displaystyle a(n)=\sum_{k=0}^{n/2}\frac{(2 n - 4 k)!(2 n - 4k + 1)!}{k!(2 n - 5 k + 1)!(n - 2 k)!(n - 2 k+ 1)!}\)

作者: 王守恩 时间: 2022-8-22 08:16

luyuanhong 发表于 2022-8-19 10:13

4 个不同的正整数,取其中的 3 个，通过四则运算(加减乘除，以及括号)，总可以算出 12 的倍数。

作者: 王守恩 时间: 2022-8-23 10:46
0是任何数的倍数。谢谢 lihp2020 !

4个正整数通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来

4个(正整数)取3个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出12的倍数来

作者: 王守恩 时间: 2022-8-24 13:57
谢谢各位好友！终极版。

5个(正整数)取3个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。

作者: 王守恩 时间: 2022-8-25 14:42
5个(正整数)选其中3个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。
经反复复核：题目没问题。谢谢各位网友！
与传统“算24”相比：
1，出题人不怕出错题，
2，解题人只要有信心，肯定有答案！

作者: 王守恩 时间: 2022-8-25 19:07

luyuanhong 发表于 2022-8-19 10:13

求助陆老师！感谢不尽！

5个(正整数)选其中3个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。

整数按照除以24的余数不同，可以分为24类。

5个整数共有7962634种可能。7962624=\(24^5\)。

剪去一些明显有解的：

1，余数是0；

2，余数是12；

3，2个正整数的余数相同；

4，2个正整数的余数互补。

剩下462种可能。462=\(\frac{11*10*9*8*7}{1*2*3*4*5}\)

逐一检查，都可以有解。

作者: 0-1110 时间: 2022-8-26 15:03
本帖最后由 0-1110 于 2022-8-26 15:06 编辑

（*）5个整数选其中3个，通过四则运算，总能凑出24的倍数来

陆老师结论：
任意2个同类数必能凑出24的倍数，所以排除同类数
（*）5个整数属于{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}

陆老师结论：
任意4个整数中必有2个能凑出8的倍数，所以5个数中排除含有3的倍数的数
（*）5个整数属于{1，2，4，5，7，8，10，11}

陆老师结论：
任意2个整数必能凑出3的倍数，所以5个数中排除含有8的倍数的数
（*）5个整数属于{1，2，4，5，7，10，11}

因{1，2，4，5，7，10，11}为4奇3偶，取任意不同的5个数中必有2个为奇数，这两个奇数在{1，5，7，11}中必能凑出6的倍数，所以5个数中排除含有4的倍数的数
（*）5个整数属于{1，2，5，7，10，11}

因{1，2，5，7，10，11}为4奇2偶，取任意不同的5个数中至少有3个奇数和1个偶数，这3个奇数在{1，5，7，11}中必能找到2个凑出12的倍数，再与1个偶数的积，此积必为24的倍数，得证.

作者: 王守恩 时间: 2022-8-26 15:25

0-1110 发表于 2022-8-26 15:03
（*）5个整数选其中3个，通过四则运算，总能凑出24的倍数来

陆老师结论：

谢谢 0-1110！！！太好了！！！！
也就是说：在462种可能里，再扣除{3,4,6,8,9}。
最后剩6种可能。
1，{1,2,5,7,10}
2，{1,2,5,7,11}
3，{1,2,5,10,11}
4，{1,2,7,10,11}
5，{1,5,7,10,11}
6，{2,5,7,10,11}
逐一检查，都可以有解。

作者: 王守恩 时间: 2022-8-27 13:01
好玩的游戏！继续开发！

谢谢 0-1110！谢谢陆老师！谢谢各位好友！

4个不同正整数,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出27的倍数来。

作者: 0-1110 时间: 2022-8-27 15:04
（*）4个整数，通过四则运算，总能凑出27的倍数来
2个整数能凑出3的倍数，
3个整数能凑出9的倍数，(因1+2*4=9)
排除同类数，再排除3的倍数，
所以，4个整数属于{1，2，4，5，7，8，10，11，13}
这恰好配成{1，8，10}，{2，7，11}，{4，5，13}三种组合，
要在这三种组合中取4个整数，至少某一组合里取2个数，而每种组合中任取2个数都能凑出9的倍数，余下2个整数必能凑出3的倍数，所以这4个整数，通过四则运算，总能凑出27的倍数来

作者: 0-1110 时间: 2022-8-27 15:09
本帖最后由 0-1110 于 2022-8-27 15:16 编辑

类推：N个整数都能凑出3的（N-1）次幂的倍数来？

作者: 王守恩 时间: 2022-8-27 18:06

0-1110 发表于 2022-8-27 15:09
类推：N个整数都能凑出3的（N-1）次幂的倍数来？

16 楼就是往这个方向想的(虽然答案是错的)。
可以借鉴：《整数序列在线百科全书(OEIS)》A070960。
好像比 3 的（N-1）次幂还要快一些。

与传统“算24”相比，我们的题目灵活多了。
a个(正整数)选其中b个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出c的倍数来。
1，出题人不怕出错题，每题都有解；
2，解题人只要有信心，肯定有答案！

有类似资料吗？谢谢！

作者: 0-1110 时间: 2022-8-27 18:34
2个整数能凑出3的倍数；
3个整数能凑出9的倍数；
4个整数能凑出27的倍数；

（*）5个整数能凑出81的倍数.
证：
排除以81为模的同类数，再排除3的倍数，得
27个数{1，2，4，5，7，8，...，40}
按模9类分组，恰好配成{1，8，10，17，19，26，28，35，37}，{2，7，11，16，20，25，29，34，38}，{4，5，13，14，22，23，31，32，40}三个组合，
5个整数在三个组合中选取，必有2个数在同一类组合里，它们必能凑出9的倍数，且余下3个整数也能凑出9的倍数
所以5个整数，通过四则运算，总能凑出81的倍数来.

证明的规律出来了，故可证明：n个整数，通过四则运算，总能凑出3^(n-1)的倍数来 .

作者: 王守恩 时间: 2022-8-27 20:35

0-1110 发表于 2022-8-27 18:34
2个整数能凑出3的倍数；
3个整数能凑出9的倍数；
4个整数能凑出27的倍数；

(1), 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049,
2个整数能凑出3的倍数；
3个整数能凑出9的倍数；
4个整数能凑出27的倍数；
5个整数能凑出81的倍数；

(2), 3, 9, 27, 108, 540, 3240, 22680, 181440, 1632960,
2个整数能凑出最大3的倍数；
3个整数能凑出最大9的倍数；
4个整数能凑出最大27的倍数；
5个整数能凑出最大108的倍数；
5=2(5选2)+3=12*9=108

后面的数:540, 3240,...,我是瞎猜的，没找到方法。

作者: 王守恩 时间: 2022-8-28 11:32

0-1110 发表于 2022-8-27 18:34
2个整数能凑出3的倍数；
3个整数能凑出9的倍数；
4个整数能凑出27的倍数；

我们有(1),(2),(3)作基础，依次推出(4),(5),(6),......
(1),2个整数能凑出3的倍数；
(2),3个整数能凑出9的倍数；
(3),4个整数:选2个凑出9的倍数，剩2个凑出3的倍数，合计9*3=27。
(4),5个整数:选2个凑出9的倍数，剩3个凑出9的倍数，合计9*9=81。
(5),6个整数:选2个凑出9的倍数，剩4个凑出27的倍数，合计9*27=243。
(6),7个整数:选2个凑出9的倍数，剩5个凑出81的倍数，合计9*81=729。
.......

分析一下：
4个整数:选2个凑出9的倍数没浪费；
5个整数:选2个凑出9的倍数有浪费；
6个整数:选2个凑出9的倍数有浪费；
7个整数:选2个凑出9的倍数有浪费；
........

作者: 王守恩 时间: 2022-8-29 09:56

luyuanhong 发表于 2022-8-19 10:13

求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 2 的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 3 的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 4 的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 5 的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 6 的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 7 的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 8 的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 9 的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出10的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出11的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出12的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出13的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出14的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出15的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出16的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出18的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出20的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出21的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出22的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出24的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出25的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出27的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出28的倍数。
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出30的倍数。

作者: 王守恩 时间: 2022-8-30 07:55
看来我的胆子还不够大。

2个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 3 的倍数；
3个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 9 的倍数；
4个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 36 的倍数；
5个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 180 的倍数；
6个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 1080 的倍数；
7个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 7560 的倍数；
8个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 60480 的倍数；

3, 9, 36, 180, 1080, 7560, 60480 , 544320, 5443200, 59875200, 718502400,
9340531200, 130767436800, 1961511552000, 31384184832000, ......

\(a(n)=\frac{3n!}{2}\) 参考《整数序列在线百科全书(OEIS)》A070960。

各位网友！能找出反例来吗？

作者: 王守恩 时间: 2022-8-31 13:52

王守恩发表于 2022-8-30 07:55
看来我的胆子还不够大。

2个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 3 的倍数；

4个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，凑出 36 的倍数；

求助各位网友！卡住了！能找出反例来吗？

作者: 王守恩 时间: 2022-9-1 08:07
求证：4个不同一位数，总能通过四则运算(加减乘除,括号)凑出 24。

作者: 王守恩 时间: 2022-9-2 07:22

王守恩发表于 2022-9-1 08:07
求证：4个不同一位数，总能通过四则运算(加减乘除,括号)凑出 24。

4个不同一位数，总能通过四则运算(加减乘除,括号)凑出 12。

作者: 王守恩 时间: 2022-9-3 06:57
求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出40的倍数。

作者: 0-1110 时间: 2022-9-3 14:52
*）4个整数，通过四则运算，总能凑出36的倍数来
证：
排除以36为模的同类数，得{1，2，3，...，18}
已知3个整数总能凑出6，8和9的倍数，排除以6，9及4的倍数，得
{1，2，3，5，7，10，11，13，14，15，17}共11类数，
这11类数仅有3类偶数{2，10，14}，其中的任两偶数总能凑出12的倍数，又因2个整数能凑出3的倍数，所以4个整数只能是：{偶，奇，奇，奇}或{奇，奇，奇，奇}，
在{1，3，5，7，11，13，15，17}中，排除以18为模的同类数，得{1，3，5，7}，显然其中的3个奇数总能凑出18的倍数，所以得排除偶数类，
因非3倍的奇数{1，5，7，11，...}中，任3数总能凑出12的倍数，所以排除3倍数得{1，5，7，11，13，17}共6类数，得两组{1，（11，13）}和{5，（7，17）}，这两组中除{7，11，13，17}外，必有两数能凑出12的倍数，故只需验证{7，11，13，17}，而[{7}+{11}]*[{13}+{17}]必为36的倍数，证完.

作者: 0-1110 时间: 2022-9-3 14:55
本帖最后由 0-1110 于 2022-9-5 10:49 编辑

4个整数，能凑出40的倍数，
4个整数，能凑出21的倍数，42不行，如{1，4，9，16}{2，9，17，20}

作者: 王守恩 时间: 2022-9-3 15:40

0-1110 发表于 2022-9-3 14:55
4个整数，通过四则运算，总能凑出40的倍数
4个整数，通过四则运算，总能凑出42的倍数

太难了！不好玩！丢了！

有这样的数字串：
1,2,3,...N，
1,2,3,...N,N+1，
1,2,3,...N,N+1,N+2，
1,2,3,...N,N+1,N+2,N+3，
1,2,3,...N,N+1,N+2,N+3,N+4，
1,2,3,...N,N+1,N+2,N+3,N+4,N+5，
......，直到永远！
每一串数，通过四则运算，总能凑出 N 的倍数。

作者: 王守恩 时间: 2022-9-4 08:59

王守恩发表于 2022-8-30 07:55
看来我的胆子还不够大。

2个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 3 的倍数；

看来不是 3, 9, 36, 180, 1080, 7560, 60480, 544320, ......
看来也不是 3, 12, 60, 360, 2520, 20160, 181440, 1814400, ......

作者: 王守恩 时间: 2022-9-20 18:18
5个(正整数)取3个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。

作者: 王守恩 时间: 2022-9-23 14:26

王守恩发表于 2022-9-20 18:18
5个(正整数)取3个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。

5个(正整数)选其中3个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。
经反复复核：题目没问题。谢谢各位网友！
与传统“算24”相比：
1，出题人不怕出错题，
2，解题人只要有信心，肯定有答案！

作者: 0-1110 时间: 2022-9-23 14:50

王守恩发表于 2022-9-23 14:26
5个(正整数)选其中3个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。
经反复复核：题目没问题。谢 ...

22楼已给出证明了，应该没错吧

作者: 蓝天有个白云 时间: 2022-9-24 19:49
为什么，能不能楼主给个解释（我只知道24是2 2 2 3倍数，要想要能成功，必须要配几个质数）

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