说说复合函数

刘付来

一，从复合函数的定义说起

目前公认的复合函数的定义是：设\(y=f\left( u\right)，u=g\left( x\right)，\)，当\(x\)在\(u=g\left( x\right)\)的定义域\(D_g\)
中变化时，\(u=g\left( x\right)\)的值在\(y=f\left( u\right)\)的定义域\(D_f\)内变化，因此变量\(x\)与\(y\)之间通过变量\(u\)，
形成的一种函数关系，记为\(y=f\left( u\right)=f\left[ g\left( x\right)\right]，\)\(x\)为自变量，\(u\)为中间变量，\(f\left( g\left( x\right)\right)\)为因变
量。事实上，外层函数\(f\left( u\right)\)与复合函数\(f\left[ g\left( x\right)\right]\)一般情况下是不相等的，它们之间用”=“
连接欠妥，建议用‘’\(y=f\left( u\right)\Rightarrow f\left[ g\left( x\right)\right]，u=g\left( x\right)\)来表达。

二：由原定义引起的歧义
例如，已知\(f\left( u\right)=u^2-2u+2，u=g\left( x\right)=x+1\)
则复合函数\(f\left[ g\left( x\right)\right]=\left( x+1\right)^2-2\left( x+1\right)+2=x^2+1\)
棍据原定义可得：\(f\left( u\right)=f\left[ g\left( x\right)\right]=x^2+1\)，由此可以得到三个等式
\(f\left( u\right)=f\left[ g\left( x\right)\right]\).......（1）
\(f\left( u\right)=x^2+1\).................................................（2）
\(f\left[ g\left( x\right)\right]=x^2+1\).........................（3）
三个等式中，只有（3）是正确的。当\(f\left( u\right)\)的自变量\(u\)也用\(x\)表示时，其产生的歧义更加明显。例如，
有这样一个简单题目：
已知\(f\left( x+1\right)=x^2+1\)，求\(f\left( x\right)\)
根据原定义，可得\(f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=x^2+1\)
由此可得：\(f\left( x\right)=x^2+1\)..........（1）
\(f\left( x+1\right)=x^2+1\)...........................（2）
因此有人对该题的解答是：
解一；\(f\left( x\right)=\left( x+1\right)^2+1\)
解二；\(f\left( x+1\right)=x^2+1=\left( x+1\right)^2-2\left( x+1\right)-2，\)
令\(x+1=u，\therefore f\left( u\right)=u^2-2u-2，\)即\(f\left( x\right)=x^2-2x-2\)
显然解法一是根据歧义解答的，是错误的。解二是正确的，它还有另种解法
已知\(f\left( x+1\right)=x^2+1\)
令\(u=x+1，x=u-1\)，将等式两边的\(x\)都置换成\(u\)得
\(f\left( u\right)=\left( u-1\right)^2+1=u^2-2u+2\)
即；\(f\left( x\right)=x^2-2x+2\)

参考文章：复合函数定义探析（2019.06.18）