请Jzkyllcjl计算\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果准确到0.001。

春风晚霞

请曹先生计算:
①、\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果要求准确到0.001；
②、\(I_n\)\(=\int_0^1 x^m(Lnx) ^n\)dx.

elim

jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣，大家对他如何计算
\(\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{\arctan x}{x}\,dx\) 的兴趣，跟观察太阳如何从西边升起一样浓厚。

jzkyllcjl

春风晚霞：说话需要有根据。第一，我说你错了，原因是：你说过被积函数表示y=1/x 双曲线的弧长微分，因此4倒5的定积分表示这个区间上的弧长，这个长度必然大于它在x轴上的投影长度1，，所以你的计算错了。第二，你这个主贴提出的《吉米多维奇数学分析题解》一书中题目，我不去进行计算，你有兴趣，你自己去研究吧。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 10:46
春风晚霞：说话需要有根据。第一，我说你错了，原因是：你说过被积函数表示y=1/x 双曲线的弧长微分，因此4 ...

是不去计算，还是不会计算？你如果去做一下，你就会发现你用“狗要吃屎”的认知论证“人不吃屎”的“错误”是根本行不通的。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-25 03:04
是不去计算，还是不会计算？你如果去做一下，你就会发现你用“狗要吃屎”的认知论证“人不吃屎”的“错误 ...

春风晚霞：第一，我不是不去计算，再92楼。我已经说了：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.000799，积分区间长为1，将区间长乘上最大值、最小值，就得到：这个区间上被积函数的定积分取值，在1.000799与1.00195之间，即曲线段的长度大于1.000799.
第二，从图形上看，在横坐标取值4到5之间的双曲线长度，一定大于它5-4=1.

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 11:23
春风晚霞：第一，我不是不去计算，再92楼。我已经说了：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在 ...

你不是不去算，那也就说你会计算这两个定积分了。既然会计算，那为什么不算？现在我可以告诉你，那两个定积分中的①，积分的结果也小于区间长0.5;同时被积函数在x=0点无定义，但其原函数在x=0又有定义(即该积分为瑕积分)，②是正常积分。我期待你计算出这两个积分结果！

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-25 03:37
你不是不去算，那也就说你会计算这两个定积分了。既然会计算，那为什么不算？现在我可以告诉你，那两个定 ...

春风晚霞：第一，你说的两个定积分是《吉米多维奇数学分析题解》一书中的吗，对于那两个我没有去看，我不打算研究它，你说的①，积分的结果也小于区间长0.5;同时被积函数在x=0点无定义，对此，我认为：他是可去间断点。第二，需要讨论的事你的积分区间【4，5】那个积分，根据你的解释，那个积分应当是这个区间上双曲线的线段长度，这个长度不能小于1，但你算出的是是小于1，所以我说：你算错了。算错的原因，我说了 你自己找。现在再说一点，傅里叶级数研究中无穷级数的可以逐项积分方法是经过证明过的，你现在的逐项积分方法是否可行，你没有证明，这是不是你算错的原因，请你考虑。，

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 15:20
春风晚霞：第一，你说的两个定积分是《吉米多维奇数学分析题解》一书中的吗，对于那两个我没有去看，我 ...

Jzkyllcjl:
       第一、请先完成《请Jzkyllcjl计算\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果准确到0.001》两个题，再来批评我的计算。否则，不管你说得天花乱坠都难以服众(至少我不会听你的)。你那么利害，成天这个错了，那个错了，这两个题都不会做，你的估计加统计方法岂不是坐而论道吗？

春风晚霞

       第二、关于例3计算是否错误问题的辩思
       1、实例分析
\begin{split}
【例】已知曲线的参数方程\begin{cases}
x=acos^3θ&(1)\\y=asin^3θ&(2)
\end{cases}
0≤θ≤\dfrac{π}{2}，试求其曲线全长。\qquad\qquad
\end{split}
\begin{split}
【解】:由曲线参数方程\begin{cases}
x= acos^3θ&(1)\\y=asin^3θ&(2)
\end{cases}
得其导数方程\begin{cases}
x'=-3cos^2θsinθ&(3)\\y'=3sin^2θcosθ&(4)
\end{cases}
\end{split}
所以:\(\sqrt{x'^2+y'^2}\)=\(\sqrt{9a^2cos^4θsin^2θ+9a^2sin^4θcos^2θ}\)=3a\(\sqrt{cos^2θsin^2θ}\)=3asinθcosθ
\(\int_0^{\tfrac{π}{2}}\sqrt{x'^2+y'^2}dθ\)=\(3a\int_0^{\tfrac{π}{2}}sinθcosθdθ\)=\(\dfrac{3}{2}a\)

很明显当a≤1时，曲线长度\(\dfrac{3}{2}a\)小于积分区间长度\(\dfrac{π}{2}\)。

       2、曲线长度小于积分区间长度的成因
       从1知:当被积函数是f(θ)积分间是以θ的单位为长度的，而曲线的长度单位是1(不是以θ的单位rad为单位)，这就是导致曲线长度小于积分区间长度的根本原因。例3中被积函数为f(u)(u=\(1\over x^4\))，即u的单位应是长度单位的四次乘方。因此与1一样，也就形成了曲线长度小于区间长这个不争的事实。为回复先生的垂询，我反复多次计算，结果都是一样的。我坚信泰勒展式的正确性，所以我认为例3的算法是正确的。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-25 09:15
Jzkyllcjl:
       第一、请先完成《请Jzkyllcjl计算\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\) ...

请你将《吉米多维奇数学分析题解》那两个题号说一下，我去查看。