求助，快被级数搞疯了

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习题课讲义

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主要是11,12,13和20题

elim

题11：试证 \(\bigg(a_n{\small\searrow}\, 0,\;\;\;\displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k-a_n)\) 有界\(\,\bigg)\implies\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛。
证：由题设，存在常数 \(M\), 对任意 \(m\), 有\(n> m\) 使 \(a_k - a_{n}> \frac{1}{2}a_k\;(k=\overline{1,m})\)
\(\qquad\)从而 \(\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^m a_k< \sum_{k=1}^n(a_k-a_n)\le M.\quad\therefore\;\; \sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛。

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。