已知 f(x) 在 [0,+∞) 上二阶可导，f(+∞)=A，f＂(x)＜0，证明：∑(n=1,∞)f'(n) 收敛

马奕琛

\(已知函数f(x)在[0,+∞)上二阶可导并单调递增，且f(+∞)=A＞0，\)

\(若f''(x)＜0，证明：\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞} f'(n)收敛\)

马奕琛

\(证明：\)

\(不妨取适当的数列{\xi_{n}}使得对任意的n都有：n-1≤\xi_{n}≤n，\)

\(由f''(x)＜0,可知f'(x)在[0,+∞)上单调递减，\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞} f'(n)＜\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞} f'(\xi_{n})\)

\(对{\xi_{n}}适当的选取，使得f'(\xi_{n})=f'(\xi_{n})[n-(n-1)]=f(n)-f(n-1)\)

\(则\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞} f'(\xi_{n})=\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞}f(n)-f(n-1)=f(+∞)-f(0)=A-f(0)＞0，\)

\(即\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞} f'(n)＜A-f(0)，由f(x)单调递增可知f'(x)≥0，\)

\(则\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞} f'(n)收敛\)

luyuanhong

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