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根据1被3除永远除不尽的事实，人们只能随着这个除法运算过程，依次得到无穷数列0.3,0.33,0.333,……，这个数列就是定义在自然数集合上的无穷数列 ，这个无穷数列 具有永远写不到底性质，这个数列中的中的数依次是分数 的准确到 的不足近似值，这个数列中的十进小数，永远达不到分数 ，这个数列的趋向性极限才是分数 。但文献[6]87页提出了：，“称无尽小数为实数”的实数定义； 80页例3证明[了“无尽循环小数等于分数”具有概念混淆的错误。事实上，这个证明过程可以说是：他的第一步是把这个变数性质无穷数列记作无尽循环小数 并把它看做定数，然后在令 后，两端乘10，得到： 但认真分析起来，这个等式右端的λ比左端的λ表示的无尽小数少一个3，所以他证明出来 等式不成立，他的证明过程存在着把0.333……是变数（即无穷数列性质的变数）看做定数的概念混淆的错误。他们对待无尽即对待无穷的这种观点违背了“无穷是无有穷尽、无有终了的事实”；同理，他们得到的无理数等于无尽不循环小数的表达式也是如此的错误等式。对等式：π=3.1415926……、布劳威尔提出了三分律的反例，这个反例说明：现行教科书中的实数理论需要改革（详见下文第2，3节）。例二， 无穷数列｛1./n｝与{1/10^n }都是定义在自然数集合上的无穷数列性质的变量，而不是定数；虽然它们的极限值是0，但极限值具有变量性数列不可达到的事实需要被尊重。这两个极限为0的无穷数列可以说是微积分学中的“无穷小”，菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷一分册，38-39页已经指出：“由于历史性形成的术语《无穷小》不是十分恰当的，希望不要引起读者的误解，这个量的任何个别数值，只要它不是零，就不能是《很小的》量，事实上，无穷小是这样的一个变量，它仅在自己变化过程中，可以变为小于任意选取的数ε”。这个例子说明：微积分学中的自变数微分定义需要使用“零与非零足够小相互依赖的对立统一法则阐述（详见下文第五节）”。 |
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发表于 2022-8-30 16:17
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