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设 -π/2≤θ≤π/2 ,求 cosθ+9/cosθ 的极值

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发表于 2022-9-4 10:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問數學

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发表于 2022-9-4 17:12 | 显示全部楼层
f(x)=cosx+9cosx,f(x)=sinx+9sinxcos2x
f(x)=0sinx=0cosx=±3()x=0f(x)
令g(x)=f'(x),g'(0)=8,可知x=0为f'(x)的极小值点,故f(x)在[-\dfrac {π}{2},\dfrac {π}{2}]上有极小值f(0)=10,而无极大值
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发表于 2022-9-4 17:38 | 显示全部楼层


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陆教授的证明是滴水不漏  发表于 2022-9-4 18:09
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发表于 2022-9-27 11:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-9-27 11:15 编辑

题:设 -π/2<θ<π/2 ,求 cosθ+9/cosθ 的极值。

思路:显然,cosθ>0。当θ→±π/2时,9/cosθ→+∞,故 cosθ+9/cosθ 无极大值。

然而,cosθ+9/cosθ =cosθ+1/cosθ +8/cosθ ≥2+8=10(仅当θ=0时等号成立),

即cosθ+9/cosθ ≥10。此时既是极小值也是最小值。

注:y=cosx+9/cosx(-π/2<x<π/2)是偶函数,图像似开口向上顶点为(0,10)且
夹在直线x=±π/2之间的抛物线。
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