关于双信悖论引起的关于什么是条件期望值的困惑！

wufaxian

声明一下：本问题的焦点不在于双信悖论本身，而是在于由此引发的关于期望独立性的困惑
问题来自：红皮概率论导论P311
结合公开课(精准空降地址https://www.bilibili.com/video/BV1EE411Z7U9?p=26&spm_id_from=pageDriver&vd_source=a553e7e4f04d4c30ac8e2a3e4bb2fdba&t=389.7) 的内容。总结一下悖论悖在哪里：

1、根据对称性可以得到E(X) = E(Y)
2、根据全期望定理 E(Y) =E(YIY=2X)·0.5 +E(YIY=X/2)·0.5 =E(Y) =E(2XIY=2X)·0.5 +E(X/2 I Y=X/2)·0.5 =E(2X)·0.5 +E(X/2)·0.5 =1.25E(X)

以上1、和2、 的结论存在矛盾。看起来似乎都有道理。于是形成悖论。作者的观点是第一个结论是正确的。第二个结论的关键错误出现在红色等号部分。这个等号是不成立的。理由就是下方截图红色下划线的内容：“也就是说， 令 I是事件Y=2X 的示性函数， 那么E(Y | Y = 2X) = E (2X | I= 1) 。 如果X独立于 I, 那么就可以去掉 l=1 的条件。 但是事实上我们已经证明了X 和 I不可能独立， 因为如果它们相互独立， 就会产生一个矛盾。”


我对这部分论述的困惑在于：
1、由概率的独立性可知AB两事件独立会有P(A|B)=P(A)  ,P(AnB)=P(A)P(B)。这两个等式实际是一体两面。对应期望的独立性我只看到E(XnY)=E(X)E(Y)  ,但是我还没看到E(A|B)=E(A) 这样的表达式。我感觉这个表达式应该成立也符合直觉。例如B代表吸烟的人口的示性函数，1代表常年吸烟。A代表患肺癌的发病率。要想证明肺癌发病率与常年吸烟无关。你就要证明E(A|B)=E(A)

2、如果第一条我关于期望独立性的认识没有错误。那么作者认为红色等号不成立的关键点就在于你不能把Y=2X   Y=X/2 这两个先决条件去掉。说白了就是作者认为在双信悖论这个案例中，E(A|B)=E(A) 是不成立的。理由就来自于上方下划线。可是为什么X不能独立于I呢？这会产生什么矛盾呢？I是否等于1  对应  B信封里的金额是2X还是X/2 这件事情的概率   或者说B信封金额的期望值-------------他怎么就不能与X独立呢？ 你打开A信封看到了里面的金额，对于B信封的期望值不会造成任何影响啊，B信封里的金额在你打开A信封之前就已经确定了。不因你是否看到A信封的金额之间事情而发生任何改变！


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