【转载】大傻拉曼纽扬系数推导贴

yangchuanju

关于拉曼纽扬系数问题，请参考我以前发的帖子：
“发表于 2009-9-25 23:08
     有一种这样的说法拉曼纽扬系数是印度伟大的数学家拉曼纽扬通过特异感觉功能发现的。浙江大学数论专家蔡教授甚至说拉曼纽扬是1000年才出现的数学奇才。哈代也非常崇拜拉曼纽扬，这是因为哈代有两个著名的公式，一个是哥德巴赫猜想计算公式，另一个是孪生素数计算公式，这两个计算公式都和拉曼纽扬系数有关。同时不论是陈景润的公式，还是王元的公式，还是网上的双筛法、两筛法都要用到拉曼纽扬系数。虽然大家都用拉曼纽扬系数，但是不知道拉曼纽扬系数的来历。一开始我也觉得1-1/(p-1)(p-1)=0.6601......这个系数有些莫名其妙。前几天我突然发现用网上大家都知道的用连乘积表示n以内素数的个数和用连乘积表示n以内孪生素数的个数。经过很简单的计算就可以得出哈代_李特伍德孪生素数公式以及偶数所含素数对个数的公式。过程之简单连我自己都大吃一惊。后来我想这也不是偶然的，因为这个问题我已经思考了很长时间，这个问题的关键是必须把2这个唯一的偶素数和奇素数隔离开分别计算，具体计算结果请看我9月21号的帖子“谈谈连乘积和哈代_李特伍德孪生素数公式的关系”，为方便大家，摘要如下：
∵n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]=
n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)][1/2*3/4*5/6......(p-2）/（p-1)]
又∵[1/2*3/4*5/6......(p-2)/(p-1)]=[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}
这上一步是因为(1-1/p)*[1-1/(p-1)(p-1)]=(p-2）/（p-1)
而{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}就是拉曼纽扬系数q=0.6601.....”。
当时我认为拉曼纽扬系数就是孪生素数常数，后来有网友说波动系数乘以孪生素数常数才是拉曼纽扬系数。所以我在另一个帖子里又讨论了波动系数问题如下：
“发表于 2019-6-23 22:07
      Π[(p-1)/(p-2)]的成因很简单，偶数n分整除p和不整除p。例如p=3，当n整除3时，我们有1+（n-1）,2+(n-2),3+(n-3)......(n-1)+1,n+0一共n对数，这n对数里肯定n/3对数不可能是素数对【注意如果（n-1）是素数，那么1+（n-1）也不是素数对，但是这种情况不一定出现，可以忽略不计】。同样当n不整除3时，这n对数里肯定有2n/3对数不可能是素数对【这里需要注意3+(n-3)有可能是素数对，但是这种情况也不一定出现，也可以忽略不计】。这样当n整除3时就比当n不整除3时是素数对可能要大2倍（当然n整除3时要比当n不整除3时数值相差不大，比如n整除3，n+2和n+4就不整除3）。以此类推当n整除p比不整除p时是素数对可能要大(p-1)/(p-2)倍，如果n能整除多个p，就是Π[(p-1)/(p-2)]。所以当偶数n不整除p时的素数对是m对，这个偶数n附近的整除p的偶数的素数对就是mΠ[(p-1)/(p-2)]对。同时因为给定一个偶数时，n能整除多个p的数量有限，所以用 Π[(p-1)/(p-2)]可以比较准确计算出素数对的个数。比如2*3*5*7*.......293*307*311是前64个素数的乘积，我们知道2的64次方是个天文数字，那么前64 个素数的乘积要远远大于2的64次方，就是这么大的偶数也只能整除64个素数。”

转引自时空伴随者《给出一组哥猜真值，仅供参考》。

yangchuanju

用筛法（双筛法）求哥猜数确实会没有误差，电脑软件用这个方法也可以得出比较大的偶数哥猜的实际值。但是对于无限大的偶数是不可能用这个办法的。
我的公式( N/2)∏[(p-1)/(p-2)]∏(1-2/p)/[1/2e^(-γ)]^2和哈李公式成立则可以保证无限大的偶数哥猜成立。
根据哈李的公式r(N)～2C∏[(p-1)/(p-2)]N/(lnN)^2
不考虑波动系数则有r(N)～2CN/(lnN)^2
用单计法则有r(N)～CN/(lnN)^2
我们知道N开方以内素数的个数是（√N）/ln(√N)=(2√N）/lnN
［CN/(lnN)^2］/［(2√N）/lnN］=（1/2）(C√N）/lnN=（1/2）(C√N）/2ln（√N）=（1/4）(C√N）/ln（√N）
当N趋近无限大时，很明显（1/4）(C√N）/ln（√N）也趋近无限大，也就是N这个偶数的单计法哥猜数当N趋近无限大时可以是N开方以内素数的个数的无限倍。也就是说计算偶数的单计法哥猜数在N趋近无限大时不用考虑其中有1个小于N开方以内素数组成的素数对。
有人说“哈李渐进式早已被他们自己否定”是不对的，他们自己从来没有否定过这个公式，也从来没有一个数学家比如王元否定过这个公式。只是哈李这个公式在黎曼猜想成立才成立，如果黎曼猜想成立，哈李公式就成立，哈李公式成立则哥猜成立就毫无疑义。


转引自yangchuanju《特大偶数强哥猜数的估算》

lusishun

啊，2009年，大傻，就把两筛法与拉曼努扬系数连系起来了，太拔高两筛法了。
谢谢大傻888888的提拔，

lusishun

啊，2009年，大傻，就把两筛法与拉曼努扬系数连系起来了，太拔高两筛法了。
谢谢大傻888888的提拔，

yangchuanju

[watermark]网上的朋友很多都知道用连乘积表示n以内素数的个数如下：
（1）n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]  其中和下面所有p都表示小于等于根号n的奇素数。
同时也有不少网上的朋友知道用连乘积表示n以内孪生素数的个数如下：
（2）n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]
如果（2）式用（1）式表示，则为：
n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]=
n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)][1/2*3/4*5/6......(p-2）/（p-1)]
因为[1/2*3/4*5/6......(p-2/p-1)]=[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]*{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}
而{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}等于常数q=0.6601......
所以n以内孪生素数的个数为：
2n*q{1/2[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]}^2`
根据素数定理π(n)~n/ln(n)
因为既然n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)] 和n/ln(n)都是n以内素数的个数
所以1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)] ~1/ln(n)
则可以得出哈代_李特伍德孪生素数公式如下:
Z(n)~2n*q*[1/ln(n)]^2
这样关于哈代_李特伍德孪生素数的猜测就被证明了。
按照同样的方法也可以求出哈代_李特伍德关于偶数所含素数对个数的公式为：
D（n）~2n*q*[1/ln(n)]^2*Π（p-1/p-2)  其中最后括号的p可以被n整除。请大家注意在这样的对数里3+5被认为是两对，另一对是5+3。以此类推。
欢迎大家参加讨论！谢谢！
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转引自大傻888888《[原创]谈谈连乘积和哈代_李特伍德孪生素数公式的关系》

yangchuanju

这是个老帖子，现在看来当时的想法确实太简单了。不过连乘积用在数值比较小的自然数得出的素数个数和孪生素数个数还是比较接近实际值的。这就是不少网友认为这个方法可以解决哥德巴赫猜想的缘故。但是当自然数趋近无限大时素数个数和孪生素数个数就需要根据梅滕斯定理对连乘积进行修正（具体方法见我2011-7-13 20:13的帖子“x以内孪生素数的个数新式子，请网友用数据检验！”）。打个比方说，在运动速度在比较低的情况下，我们用牛顿的计算公式就可以，而当运动速度接近光速则必须用爱因斯坦的计算公式才能得出正确的结果。
     下面是我2018-8-19 16:00发的帖子对这个问题重新证明：
我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2      其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2   c是拉曼纽扬系数
如果p不整除N.则上式成为：
r(N)～2cN/(lnN)^2
根据梅滕斯定理，可以知道：
∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN       其中2≤p≤√N      e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)        其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]   其中2＜p≤√N，
所以
r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2   
上面(1-2/p)里2＜p≤√N      (1-1/p)里 2≤p≤√N
如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
欢迎广大网友批评指正”

转引自大傻888888《[原创]谈谈连乘积和哈代_李特伍德孪生素数公式的关系》

yangchuanju

[watermark]网上的朋友很多都知道用连乘积表示n以内素数的个数如下：
（1）n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]  其中和下面所有p都表示小于等于根号n的奇素数。
同时也有不少网上的朋友知道用连乘积表示n以内孪生素数的个数如下：
（2）n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]
如果（2）式用（1）式表示，则为：
n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]=
n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)][1/2*3/4*5/6......(p-2）/（p-1)]
因为[1/2*3/4*5/6......(p-2/p-1)]=[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]*{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}
而{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}等于常数q=0.6601......
所以n以内孪生素数的个数为：
2n*q{1/2[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]}^2
根据素数定理π(n)~n/ln(n)
因为既然n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)] 和n/ln(n)都是n以内素数的个数
所以1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)] ~1/ln(n)
则可以得出哈代_李特伍德孪生素数公式如下:
Z(n)~2n*q*[1/ln(n)]^2
这样关于哈代_李特伍德孪生素数的猜测就被证明了。
按照同样的方法也可以求出哈代_李特伍德关于偶数所含素数对个数的公式为：
D（n）~2n*q*[1/ln(n)]^2*Π（p-1/p-2)  其中最后括号的p可以被n整除。请大家注意在这样的对数里3+5被认为是两对，另一对是5+3。以此类推。
欢迎大家参加讨论！谢谢！[/watermark]

转引自大傻8888888《[原创]谈谈连乘积和哈代_李特伍德孪生素数公式的关系》

lusishun

yangchuanju 发表于 2022-9-22 22:03
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lusishun

lusishun 发表于 2022-9-22 22:10
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