鲁氏大统一等式的扩展

费尔马1

丢番图方程：x^(2n+1)+y^(2n+3)=z^(2n+1)
其中一组解是：
x=v*m^[(2n+3)t-n-1]
y=m^[(2n+1)t-n]
z=u*m^[(2n+3)t-n-1]
其中，n、t、u、v为正整数，u>v, m=u^(2n+1)-v^(2n+1)

费尔马1

lusishun 发表于 2022-6-26 08:07
大统一等式：
（a^a-1）^a+（a^a-1）^（a+1）=【a（a^a-1）】^a，
（a为0、1以外的所有正整数）

这个公式不是恒等式，a不能等于0，1

[mn^a-m^(a+1)]^a +(n^a-m^a)^(a+1)=[n^(a+1)-nm^a]^a
其中，m、n、a为正整数，n大于m。
上式中，当n=a、m=1时，即为鲁老师的解。其中，a>1
（a^a-1）^a+（a^a-1）^（a+1）=【a（a^a-1）】^a，

费尔马1

解函数丢番图方程：x^(2n+1)+y^(2n+1)=z^(2n+3)
此题简单，采用鲁氏解法，取2为底数，用辗转相除法。

lusishun

谢谢，我就不客气了，接受您的“鲁氏大统一等式”命名。
深鞠躬

lusishun

费尔马1 发表于 2022-9-24 12:20
lusishun 发表于 2022-6-26 08:07
大统一等式：
（a^a-1）^a+（a^a-1）^（a+1）=【a（a^a-1）】^a，

在鲁氏大等式中有十个a，预示十全十美。

如何发现该等式，是很有意思的经历。

费尔马1

lusishun 发表于 2022-9-25 08:00
在鲁氏大等式中有十个a，预示十全十美。

如何发现该等式，是很有意思的经历。

由丢番图方程：x^(2n+1)+y^(2n+3)=z^(2n+1)变换位置得：解函数丢番图方程：x^(2n+1)+y^(2n+1)=z^(2n+3)
（老师问，最后边Z的指数是2n+2吧？ ），最后边Z的指数是2n+3。当然z的指数是2n+2也可以，这与n，n+1是一回事，所以，本题采用z的指数是2n+3。

lusishun

费尔马1 发表于 2022-9-25 12:43
由丢番图方程：x^(2n+1)+y^(2n+3)=z^(2n+1)变换位置得：解函数丢番图方程：x^(2n+1)+y^(2n+1)=z^(2n+3)
...

求X^3+Y^3=Z^5的解

费尔马1

lusishun 发表于 2022-9-25 21:23
求X^3+Y^3=Z^5的解

求X^3+Y^3=Z^5的解
其中一个答案是：
x=p(p^3+q^3)^(5k-2)
y=q(p^3+q^3)^(5k-2)
z=(p^3+q^3)^(3k-1)
其中，p、q、k为正整数。

费尔马1

lusishun 发表于 2022-9-25 21:23
求X^3+Y^3=Z^5的解

X^3+Y^3=Z^5的解
其中一个答案是：
x=p(p^3+q^3)^(5k-2)
y=q(p^3+q^3)^(5k-2)
z=(p^3+q^3)^(3k-1)
其中，p、q、k为正整数
回答老师如下：
当p=q=k=1时，x=8，y=8，z=4
代入原方程，有：8^3+8^3=4^5=1024,方程成立。
请老师审核，谢谢老师！

lusishun

原因是2n+1与2n+3，是互质的。所以一定有解