【答】求方程组 x+y+z=3 ，x^3+y^3+z^3=x^4+y^4+z^4 的实数解

dodonaomikiki

【方程组】日本数学竞赛，可否得到新解  

  \(          \begin{cases}          x+y+z=3    \\                        x^3+y^3+z^3=   x^4+y^4+z^4
  \end{cases}              \)

答案见图，非常中规中矩！



看看还有木有新奇之别解？

Future_maths

楼上的解答就已经是很好了。

dodonaomikiki

如果有其他办法，
只要不是特别麻烦，
我觉得也是很好

dodonaomikiki

朱明君 发表于 2022-9-25 21:53
x+y+Z=3，即x=1，y=1，Z=1，
因为1^n=1，所以X^3+y^3+Z^3=X^4+y^4十Z^4，

  朱老师，
你的方法很好！


就是直观法！一眼瞪出来，就像韦东义一样~~~
但是，充分性与严谨性，或许可以加强



本帖最后由 朱明君 于 2022-9-25 13:59 编辑


       \(          x+y+Z=3       \)，即   \(    x=1，y=1，Z=1                      \)
因为       \(          1^n=1       \)，所以       \(          X^3+y^3+Z^3=X^4+y^4十Z^4       \)

dodonaomikiki

比如这种情况，举例：


\( z   \succ   x,y         \)
那么，\( x+y+z=3，    z \succ   1,    x,y  \prec   1                           \)


\( z^3          \) 比起\( z^4         \)  肯定增加比较慢，
但同时，  \(   x^3,y^3         \)两者“合起来” 减小得也比   \(    x^4,y ^4         \)来得慢
这样， \( x^3+y^3+z^3         \) 有可能等于\(x^4+y ^4+ z^4         \)  

dodonaomikiki

还有这种情况

\( x+y+z=3，    z,x \succ   1,    y  \prec   1                           \)

\( x+y+z=3，    z,y \succ   1,    x  \prec   1                           \)

dodonaomikiki

要把我上面说的两种情况排除掉
那么，就不失数学的严谨性啦

朱明君

波斯猫猫

题：解不定方程组 x+y+z=3 ，x^3+y^3+z^3=x^4+y^4+z^4 。

思路：显然x，y和z中不可能全为非正整数，至多有两个为非正整数。据对称性，不妨考虑y和z

为非正整数或z为非正整数。

1，当y和z为非正整数时，则x为正整数，且x^3≤x^4，y^3＜y^4，z^3＜z^4

（若yz=0，则x^3+y^3＜x^4+y^4，或x^3≤x^4[此时x=1，与x=3矛盾]），

故，x^3+y^3+z^3＜x^4+y^4+z^4 。此时方程组无解。

2，当z为非正整数时，则x和y皆为正整数，且x^3≤x^4，y^3≤y^4，z^3＜z^4，

（若z=0，则x^3+y^3≤x^4+y^4，此时仅当x=y=1时等号成立。这与x+y=3矛盾）。

故，x^3+y^3+z^3＜x^4+y^4+z^4 。此时方程组无解。

3，当x，y和z均为正整数时，有x^3≤x^4，y^3≤y^4和z^3≤z^4，

即x^3+y^3+z^3≤x^4+y^4+z^4 ，显然，当且仅当x=y=z=1时等号成立，

且满足x+y+z=3 。故原方程组 仅一组解x=y=z=1。

注：本题与原题的提法有所不同。

Future_maths

10楼的解答是错的