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在 Z5 域中定义的“+”,其实并不是普通整数域中的“加”,而是“模 5 取余的加”

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发表于 2022-10-13 13:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
《普林斯顿数学分析》P38

集合 S = { 0, 1, 2, 3, 4 } 结合普通的加法和乘法无法构成一个域.因为 S 包含 2 和 3,但是 2+3 = 5 不属于 S,所以 S 对加法不封闭.同样地,(2)(3) = 6 S, 所以 S 对乘法也不封闭.

但是,不妨设 T = S mod 5,也就是说,我们在 S 中把数 5 设为 0.那么 10 = 5 + 5 = 0 + 0;同样地,5 的任何倍数也都等于 0.此时,2 + 3 = 5 = 0 就 包含在 T 中.在 T 中,元素的任意和或积 x 均包含在 T 中;因为当 x5 时, 我们可以把 x 写成 x = 5n + m = m,其中 m, n ∈ N 且 m < 5.这个奇怪的域 T 通常记作 Z5



—————-对于上面红色字体感觉比较矛盾,比如17,可以看作5*3+2=2   ,还在T中。在这个过程中5先被看成5,来令5*3+2=17,接着5又被看成0,令5*3+2=2。  所以5究竟是5还是0 ?如果我们定义5“就是0”,那么令5*3+2=17就有些牵强了!

发表于 2022-10-13 16:51 | 显示全部楼层
在 Z5 域中定义的“+”,其实并不是普通整数域中的“加”,而是“模 5 取余的加”。

上面写 x = 5n + m = m ,人们容易把其中的“+”当作普通整数域的“加”,就会觉得有矛盾。

最好把式子写成 x ≡ (5n + m) mod 5 ≡ m mod 5 ,这样人们就不会有误会了。
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 楼主| 发表于 2022-10-14 03:47 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2022-10-13 16:51
在 Z5 域中定义的“+”,其实并不是普通整数域中的“加”,而是“模 5 取余的加”。

上面写 x = 5n + m  ...

谢谢lu老师讲解。
请问“ “模 5 取余的加”。”和普通加法有什么区别?相加结果除5,然后取余数 ,余数作为加法结果?
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发表于 2022-10-14 09:30 | 显示全部楼层
wufaxian 发表于 2022-10-14 03:47
谢谢lu老师讲解。
请问“ “模 5 取余的加”。”和普通加法有什么区别?相加结果除5,然后取余数 ,余数 ...


对。“模 5 取余的加”,就是先作普通的加,相加的结果除以 5 ,然后取余数 ,余数就是这种运算的结果。

点评

谢谢lu老师的解答,我明白了。  发表于 2022-10-14 20:35
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发表于 2022-10-14 19:11 | 显示全部楼层
这不会是5进制吧?
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