有用的素数个数表

yangchuanju

有用的一些素数个数表
A006880给出10的0-29次方内的素数个数；
A006879给出第1-28位素数个数，它实际上是A006880的相邻次方素数个数的差；
A006988给出第10的0-28次方个素数，例第1个素数是2，第10个素数是29，第100个素数是541；
A122121给出10^(n/2)内素数个数，n=0--52，实际上是10^k及√(10^k)内的素数个数，k=0--26。

A006880-29
10^n内素数个数
0 0
1 4
2 25
3 168
4 1229
5 9592
6 78498
7 664579
8 5761455
9 50847534
10 455052511
11 4118054813
12 37607912018
13 346065536839
14 3204941750802
15 29844570422669
16 279238341033925
17 2623557157654233
18 24739954287740860
19 234057667276344607
20 2220819602560918840
21 21127269486018731928
22 201467286689315906290
23 1925320391606803968923
24 18435599767349200867866
25 176846309399143769411680
26 1699246750872437141327603
27 16352460426841680446427399
28 157589269275973410412739598
29 1520698109714272166094258063

yangchuanju

A006879-28
第n位素数个数
0 0
1 4
2 21
3 143
4 1061
5 8363
6 68906
7 586081
8 5096876
9 45086079
10 404204977
11 3663002302
12 33489857205
13 308457624821
14 2858876213963
15 26639628671867
16 249393770611256
17 2344318816620308
18 22116397130086627
19 209317712988603747
20 1986761935284574233
21 18906449883457813088
22 180340017203297174362
23 1723853104917488062633
24 16510279375742396898943
25 158410709631794568543814
26 1522400441473293371915923
27 14653213675969243305099796
28 141236808849131729966312199

yangchuanju

A006988-24
第10^n个素数
0 2
1 29
2 541
3 7919
4 104729
5 1299709
6 15485863
7 179424673
8 2038074743
9 22801763489
10 252097800623
11 2760727302517
12 29996224275833
13 323780508946331
14 3475385758524527
15 37124508045065437
16 394906913903735329
17 4185296581467695669
18 44211790234832169331
19 465675465116607065549
20 4892055594575155744537
21 51271091498016403471853
22 536193870744162118627429
23 5596564467986980643073683
24 58310039994836584070534263

yangchuanju

A122121-52
10^(n/2)内素数个数
0 0
1 2
2 4
3 11
4 25
5 65
6 168
7 446
8 1229
9 3401
10 9592
11 27293
12 78498
13 227647
14 664579
15 1951957
16 5761455
17 17082666
18 50847534
19 151876932
20 455052511
21 1367199811
22 4118054813
23 12431880460
24 37607912018
25 113983535775
26 346065536839
27 1052370166553
28 3204941750802
29 9773865306521
30 29844570422669
31 91238789797384
32 279238341033925
33 855502559228365
34 2623557157654233
35 8052994747583677
36 24739954287740860
37 76066570954337300
38 234057667276344607
39 720722641159301040
40 2220819602560918840
41 6847673381013822597
42 21127269486018731928
43 65223071241820793398
44 201467286689315906290
45 622647095301172021671
46 1925320391606803968923
47 5956317545928249075039
48 18435599767349200867866
49 57086403558149290301868
50 176846309399143769411680
51 548074549053620897173483
52 1699246750872437141327603

yangchuanju

正整数N内素数个数可用素数定理对数公式N/LN(N)计算，但计算值要比实际值π(N)偏少一些，
A057834给出10的1-50次方的对数式(10^n/log(10^n))计算值，式中log即ln。
正整数N内素数个数又可用素数定理积分公式LI计算， Li(x) = integral(0..x, dt/log(t)),但计算值要比实际值π(N)偏多一些，
A057754给出10的1-1000次方的积分值。
由于N/LN(N)的计算值小于N内实际素数个数值，于是人们在分母中减去一个常数1.08366，对数式改成N/[LN(N)-1.08366]，然而修正的对数式计算值又略大于N内素数实际个数；
A058289给出10的1-500次方的对数修正式计算值。

A057834-50
10^n/log(10^n)
1 4
2 22
3 145
4 1086
5 8686
6 72382
7 620421
8 5428681
9 48254942
10 434294482
11 3948131654
12 36191206825
13 334072678387
14 3102103442166
15 28952965460217
16 271434051189532
17 2554673422960305
18 24127471216847324
19 228576043106974646
20 2171472409516259138
21 20680689614440563221
22 197406582683296285296
23 1888236877840225337614
24 18095603412635492818797
25 173717792761300731060452
26 1670363391935583952504342
27 16084980811231549172264034
28 155105172108304224161117471
29 1497567178976730440176306617
30 14476482730108394255037630631
31 140094994162339299242299651263
32 1357170255947661961409777871614
33 13160438845553085686397846027776
34 127733671148015243426802623210766
35 1240841376866433793288939768333157
36 12063735608423661879198025525461252
37 117376887000878872338142951058541914
38 1142880215534873230660865576096329164
39 11135755946237226350028946638887309802
40 108573620475812956912782229729151270574
41 1059254833910370311344216875406353859255
42 10340344807220281610741164736109644816533
43 100998716721686471546774167189908158673116
44 987032913416481426479838452083193368850902
45 9650988486738929503358420420369001828764378
46 94411843892011266880680199764479365716173262
47 924030812560110271598146635992776770839142566
48 9047801706317746409398519144095939214466604288
49 88631526919030985234924269166654098427427960368
50 868588963806503655302257837833210164588794011607

yangchuanju

A058289-500
10^n/[log(10^n)-1.08366]——偏大
1 8
2 28
3 172
4 1231
5 9588
6 78543
7 665140
8 5768004
9 50917519
10 455743004
11 4124599869
12 37668527415
13 346621096885
14 3210012022164
15 29890794226982
16 279660033612131
17 2627410589445923
18 24775244142175635
19 234381646366460804
20 2223801523570829204
21 21154786057670023133
22 201721849105666574218
23 1927681221597738628080
24 18457546327619878007916
25 177050792039110236839710
26 1701156120834278630173694
27 16370326243373272895062280
28 157756767911194258241759313
29 1522271416204882045821506579
30 14707203235019060011936516939
31 142254637802338411944883135046
32 1377428246330406915700936947723
33 13350841080044264241671680874464
34 129526576334783571612275108734755
35 1257753764960571144377820822524004
36 12223533714685956667436262494065237
37 118889116585808101578061097745361456
38 1157212214452653870722016859853506451
39 11271776683099040805374355236844570465
40 109866272869199934725735256776383372412
41 1071554913729621603270579143412477846174
42 10457525755114641486795857338777176512480
43 102116362638121308351922613550877005190565
44 997704440799157465899689870544848471682285
45 9752989051697369571762693994288076066210405
46 95387759288572234348947498312653348810655556
47 933377045751112492140081214635021949699107659
48 9137391461155723354948567307372762508358617600
49 89491056663594869561778692945051006410834928209
50 876842286693807421013505082531249498160527438663
…………
51--500略

yangchuanju

A057754-1000
Li(10^n)
1 6
2 30
3 178
4 1246
5 9630
6 78628
7 664918
8 5762209
9 50849235
10 455055615
11 4118066401
12 37607950281
13 346065645810
14 3204942065692
15 29844571475288
16 279238344248557
17 2623557165610822
18 24739954309690415
19 234057667376222382
20 2220819602783663484
21 21127269486616126182
22 201467286691248261498
23 1925320391614054155139
24 18435599767366347775144
25 176846309399198930392619
26 1699246750872593033005724
27 16352460426842189113085405
28 157589269275974838158399972
29 1520698109714276717287880527
30 14692398897720447639079087669
31 142115097348080932014151407892
32 1376110866993766004917522323514
33 13338384833104449976987996079882
34 129408626505158942694528690454892
35 1256635328818316477984258713989890
36 12212914297619365454914525220396542
37 118788158912168251751964753230428581
38 1156251261026516898117818363873334559
39 11262619405559203146275209663402371852
40 109778913489828302828088665405117758934
41 1070720634880035465547951820744285205841
42 10449550362264587535481840578659988274768
43 102040046944365910880559853638127086594749
44 996973504768769817629283320506726210610190
45 9745982046649286035485484939842898378671094
46 95320530117476458338551157520563163251369549
47 932731479347381530211417209857195587640949212
48 9131187511161416233101953279158691886168452589
49 89431390658025913831622054471037566314593480943
50 876268031750784168878176862640406870986031109952
…………
51--1000略

yangchuanju

n        π(10^n)        10^n/[log(10^n)-1.08367]        10^n/log(10^n)        减1.08与π之比        素数定理与π之比
1        4        8        4        2.000000         1.000000
2        25        28        22        1.120000         0.880000
3        168        172        145        1.023810         0.863095
4        1229        1231        1086        1.001627         0.883645
5        9592        9588        8686        0.999583         0.905546
6        78498        78543        72382        1.000573         0.922087
7        664579        665140        620421        1.000844         0.933555
8        5761455        5768004        5428681        1.001137         0.942241
9        50847534        50917519        48254942        1.001376         0.949012
10        455052511        455743004        434294482        1.001517         0.954383
11        4118054813        4124599869        3948131654        1.001589         0.958737
12        37607912018        37668527415        36191206825        1.001612         0.962330
13        3.46066E+11        3.46621E+11        3.34073E+11        1.001605         0.965345
14        3.20494E+12        3.21001E+12        3.1021E+12        1.001582         0.967913
15        2.98446E+13        2.98908E+13        2.8953E+13        1.001549         0.970125
16        2.79238E+14        2.7966E+14        2.71434E+14        1.001510         0.972052
17        2.62356E+15        2.62741E+15        2.55467E+15        1.001469         0.973744
18        2.474E+16        2.47752E+16        2.41275E+16        1.001426         0.975243
19        2.34058E+17        2.34382E+17        2.28576E+17        1.001384         0.976580
20        2.22082E+18        2.2238E+18        2.17147E+18        1.001343         0.977780
21        2.11273E+19        2.11548E+19        2.06807E+19        1.001302         0.978862
22        2.01467E+20        2.01722E+20        1.97407E+20        1.001264         0.979844
23        1.92532E+21        1.92768E+21        1.88824E+21        1.001226         0.980739
24        1.84356E+22        1.84575E+22        1.80956E+22        1.001190         0.981558
25        1.76846E+23        1.77051E+23        1.73718E+23        1.001156         0.982309
26        1.69925E+24        1.70116E+24        1.67036E+24        1.001124         0.983002
27        1.63525E+25        1.63703E+25        1.6085E+25        1.001093         0.983643
28        1.57589E+26        1.57757E+26        1.55105E+26        1.001063         0.984237

N/[LN(N)-1.08366]比π(N)稍大一些，N/LN(N)比π(N)小一些，前式更接近于π(N)的真实值。
当N大于10的28次方后，用N/[LN(N)-1.08366]代替N/LN(N)可能更好些。

yangchuanju

A057835-28
π(10^n)-10^n/log(10^n)
1 0
2 3
3 23
4 143
5 906
6 6116
7 44158
8 332774
9 2592592
10 20758029
11 169923159
12 1416705193
13 11992858452
14 102838308636
15 891604962452
16 7804289844393
17 68883734693928
18 612483070893536
19 5481624169369961
20 49347193044659702
21 446579871578168707
22 4060704006019620994
23 37083513766578631309
24 339996354713708049069
25 3128516637843038351228
26 28883358936853188823261
27 267479615610131274163365
28 2484097167669186251622127

yangchuanju

A058290-28
10^n/[log(10^n)-1.08366]-π(10^n)
1 4
2 3
3 4
4 2
5 4
6 45
7 561
8 6549
9 69985
10 690493
11 6545056
12 60615397
13 555560046
14 5070271362
15 46223804313
16 421692578206
17 3853431791690
18 35289854434775
19 323979090116197
20 2981921009910364
21 27516571651291205
22 254562416350667928
23 2360829990934659157
24 21946560270677140050
25 204482639966467428030
26 1909369961841488846091
27 17865816531592448634881
28 167498635220847829019715