金蝉脱壳数组——等幂和数组——华林问题

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 05:55

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-1 07:58 编辑

自然数中的钢铁战士——金蝉脱壳数组

有这么一组数，它们始终联手相等。任你如何摔打，平方也好，“砍头去尾”也好，直至“剁成碎片”，保持相等的特性“至死不变”。在茫茫数海中，真可谓“一绝”！
　　这组数是：123789+561945+642864=242868+323787+761943(=1328598)
　　当然，这样的等式并不希奇，奇就奇在无论你让它们各自自乘，或将它们都“刀砍斧剁”，它们却总要“相等”！请看：
　　1.将每个数都平方：
　　123789^2+561945^2+642864^2=242868^2+323787^2+761943^2(=744380022042)
　　相等！
　　2.把各个数量左边的一个数字都抹去：
　　23789+61945+42864=42868+23787+61943(=128598)
　　相等！
　　3.抹掉一位后再平方呢？
　　23789^2+61945^2+42864^2=42868^2+23787^2+61943^2(=6240422042)
　　还是相等！
　　4.把各个数左边再抹掉一位、再平方如何呢？
　　3789+1945+2864=2868+3787+1943(=8598)
　　3789^2+1945^2+2864^2 =2868^2+3787^2+1943^2(=26342042)
　　它们还是相等！
　　5.咱们索性这样继续干下去。
　　789+945+864=868+787+943(=2598)
　　789^2+945^2+864^2=868^2+787^2+943^2(=2262042)
　　6.继续……
　　89+45+64=68+87+43(=198)
　　89^2+45^2+64^2=68^2+87^2+43^2(=14042)
　　7.最后只剩下一位数了：
　　9+5+4=8+7+3(=18)
　　9^2+5^2+4^2=8^2+7^2+3^2(=122)
　　相等的性质一如既往！
　　更为奇绝的是，即使从两组的右边逐个地抹去数字，仍依上述过程，它的相等性质仍是坚定不移！
　　试试看：
　　12378+56194+64286=24286+32378+76194(=132858)
　　12378^2+56194^2+64286^2=24286^2+32378^2+76194^2(=7443670316)
　　最后，又是只剩下一位数了：
　　1+5+6=2+3+7(=12)
　　1^2+5^2+6^2=2^2+3^2+7^2(=62)
　　它们也还是相等！
　　这种“顽强不屈”的精神，使我们想到了一首诗：
　　千锤万凿出深山，烈火焚烧若等闲。
　　粉身碎骨浑不怕，要留清白在人间。
　　真想不到自然数中，也有这样的“钢铁战士”！

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 06:02

“等幂和”问题
我们不妨先看下面两组自然数，每组各6个，它们的和彼此相等：
1+6+7+17+18+23=2+3+11+13+21+22。
看了上述式子，你大概会说，这有什么希奇，这种数要多少就有多少！但是，且慢，请继续往下看：
1^2+6^2+7^2+17^2+18^2+23^2=2^2+3^2+11^2+13^2+21^2+22^2。
这时你可能已经感到有几分意外了。不过，事情并未就此结束，它还在继续向前发展，请看：

1^3+6^3+7^3+17^3+18^3+23^3=2^3+3^3+11^3+13^3+21^3+22^3。
用手算三次方，已经相当麻烦，所以最好还是使用计算器进行验算。
有时候，算式要比语言更有力量。有人曾称赞麦克斯韦的电磁波方程是“神仙”写出来的公式，即使用尽辞典上一切美好的形容词都无法形容它的尽善尽美。现在这个式子虽然远不及麦克斯韦电磁波方程来得美好，但在一般人心目中，它也是够奇妙的了，请再看：
1^4+6^4+7^4+17^4+18^4+23^4=2^4+3^4+11^4+13^4+21^4+22^4；
1^5+6^5+7^5+17^5+18^5+23^5=2^5+3^5+11^5+13^5+21^5+22^5。
但是，它并不是没有止境的。再上去，六次方、七次方，等式就不成立了。
这两组数看上去真是匪夷所思，奇妙之极。……

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 06:06

费尔马1（程中战）的一些等幂和数组

高次等幂和数组又现光彩
费尔马1  发表于 2022-3-30 19:40
十阶6次上下互补型高级数组
1.4.8.10.19.27.30.38.41.42=220；S^6=A
2.3.6.14.17.25.34.36.40.43=220；S^6=A
上下互补型的高次数组是非常难制作的，最高次数为阶数减一阶次。
七阶5次全不互补型数组
1.7.18.26.35.37.45=169；s^5=A
2.5.21.25.31.42.43=169；s^5=A
制作者  程中永

五阶四次等幂和数组
费尔马1  发表于 2022-1-31 06:32
一颗明珠迎虎岁，五元数组放光彩
五阶4次等幂和数组:
1.7.9.18.20
和，平方和，立方和，四次方和s^4=273939；
2.4.13.15.21
和，平方和，立方和，四次方和s^4=273939
这两个五元数组的和，平方和，立方和，四次方和都相等。
这个数组的次数已经达到了极限，不存在五阶五次等幂和数组。这个数组的制作也是很难的。请老师们验证一下，谢谢！
制作者程中永

程氏高次等幂和数组
费尔马1  发表于 2021-9-24 17:48
八阶6次高级数组(小型的)
1+6+7+14+23+24+32+33=140；
2+3+11+12+21+28+29+34=140；
s^6=2712042500；这类数组的制作是有点难度的。
十阶7次高级数组(小型的)
1+7+10+24+26+28+30+44+47+53=270；s^7=M；
2+4+14+21+23+31+33+40+50+52=270；s^7=M；当数组的个数是10个数时，它的最高等幂和最高次数为9次，非常难制作。
八阶7次高级数组(小型的)
1+5+10+24+28+42+47+51=208；s^7=M；
2+3+12+21+31+40+49+50=208；s^7=M；
以上等幂和数组制作者是，程中永

以下12阶等幂和数组制作者是中国幻方研究者协会的老师。
十二阶11次高级数组(摘自幻方)详见李抗强趣味幻方
1+12+25+66+91+130+174+213+238+279+292+303=4+6+31+58+105+117+187+199+246+273+298+300；它们的一次和相等，二次和相等，三次、四次、……十一次和都相等。

七阶5次高级数组(小型的)
1+9+11+20+28+39+45=153；S^5=295382793；
3+4+15+21+25+41+44=153；s^5=295382793；单数阶的高次幂要比双数阶的高次幂难制作。
制作者程中永

13阶8次等幂和数组
费尔马1  发表于 2020-11-12 05:57
13阶8次等幂和数组
1.6.7.10.16.24.25.35.42.44.47.53.54=2.3.9.12.14.21.31.32.40.46.49.50.55
等式左右的13个数的和相等、平方和相等、立方和相等、四次幂和相等、……、七次幂和相等、八次幂和相等。
制作者程中永

奇妙的高次等幂和数组
费尔马1  发表于 2020-8-26 17:13
13阶8次等幂和数组
1.6.7.10.16.24.25.35.42.44.47.53.54=2.3.9.12.14.21.31.32.40.46.49.50.55
这两个数组的各个数的和相等，平方和相等，立方和相等，……8次幂和相等，大家若不相信，可以试试。
数组制作者  程中永

10阶7次等幂和数组
1.7.10.24.26.28.30.44.47.53=2.4.14.21.23.31.33.40.50.52
注:十阶可存在9次的和数组。

八阶三次等幂和数组
费尔马1  发表于 2017-11-28 05:49
含1与64的三次等幂和的标准数组：
1 51 27 33 64 32 14 38
1 21 17 33 64 32 48 44
1 30 18 20 64 35 45 47
1 26 17 23 64 42 48 39
1 24 18 23 64 42 41 47
S=260  S2=11180  S3=540800

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 06:09

《奇异的“金蝉脱壳”数组》节录
下面再推荐几对“金蝉脱壳”数组，共大家欣赏和研究。
二次三阶等幂和“金蝉脱壳”数组一对：
数组C：13837624,68719278,84328436
数组D：26928456,42537614,97419268

三次四阶等幂和“金蝉脱壳”数组一对：
数组E：3612160642,3204120114,4326231691,3918191163
数组F：3306130221,3408140428,4122211377,4224221584
本数值只能左删2,4,6,8数或右删2,4,6,8数可行。
……
五次六阶等幂和“金蝉脱壳”数组一对：
数组G：32156,83692,77547,51383,45238,96774
数组H：56338,41274,95783,33147,87656,72592
五次六阶回文等幂和“金蝉脱壳”数组一对：
数组M：61233216,26388362,75777757,33155133,82544528,47699674
数组N：71333317,66788766,25277252,83655638,42144124,37599573

五次六阶回文可抹等幂和数组四对：
第一个：
数组A：5632,7315,2761,6127,1573,3256
数组B：2365,5137,1672,7216,3751,6523
第二个：
数组A：1441,2112,4884,6226,8998,9669
数组B：4114,1221,8448,2662,9889,6996
第三个：
数组A：2684,4367,7238,8426,6743,3872
数组B：2783,3476,6248,8327,7634,4862
第四个：
数组A：2442,4774,7887,8668,6336,3223
数组B：2332,3663,6886,8778,7447,4224

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 06:10

《什么是“等幂和”问题》节录（几个数组）
https://www.taodocs.com/p-53114145
在此，我再向大家推荐一等幂和数组：
193333,648787,854842；276466,482521,937975
158832,644743,893383；237925,486561,972476
——末一位有问题，将第二数改为644747方对
257,342,796；134,588,673——好用
3811,7666,8158；4932,5424,9279——好用
25627,46873,94162；18946,63235,87481
——全不对，将第二数改为49873方对了

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 06:13

一个6次8阶等幂和数组：
(2323,2241,2231,2117,2079,1957,1953,1899),
(2321,2263,2187,2163,2037,2001,1919,1909)
以上是陈漱文找到的, http://euler.free.fr/eslp/product.htm
陈老师的这个例子就比较好. 只不过是到6次方和相等.

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 07:54

奔腾的列车

1楼《自然数中的钢铁战士》给出一组“金蝉脱壳”数组（123789，561945，642864；242868，323787，761943），该数值犹如一个钢铁战士，任凭你斩头去尾、抽筋扒皮，哪怕他只剩一根脊椎骨，他依然昂首不屈，保持着一次、二次（平方）和相等的阵势。

该数值除具有“金蝉脱壳”的功能外，还像一列奔腾的列车，你可以随意编组——头尾互换、单车头改双车头、任意拆除中间的任一节车厢、任意加挂一节或几节车厢，仍保持一次、二次和相等的阵势。
不信，就请您亲自试一试。

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 08:06

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-30 08:10 编辑

yangchuanju 发表于 2022-10-30 07:54
奔腾的列车

1楼《自然数中的钢铁战士》给出一组“金蝉脱壳”数组（123789，561945，642864；242868，323 ...

项目 a b c d e f 1次差 2次差
原始数组 123789 561945 642864 242868 323787 761943 0 0
右端去掉1位 12378 56194 64286 24286 32378 76194 0 0
右端去掉2位 1237 5619 6428 2428 3237 7619 0 0
右端去掉3位 123 561 642 242 323 761 0 0
右端去掉4位 12 56 64 24 32 76 0 0
右端去掉5位 1 5 6 2 3 7 0 0

左端去掉1位 23789 61945 42864 42868 23787 61943 0 0
右端再去1位 2378 6194 4286 4286 2378 6194 0 0
右端再去2位 237 619 428 428 237 619 0 0
右端再去3位 23 61 42 42 23 61 0 0
右端再去4位 2 6 4 4 2 6 0 0

左端去掉2位 3789 1945 2864 2868 3787 1943 0 0
右端再去1位 378 194 286 286 378 194 0 0
右端再去2位 37 19 28 28 37 19 0 0
右端再去3位 3 1 2 2 3 1 0 0

左端去掉3位 789 945 864 868 787 943 0 0
右端再去1位 78 94 86 86 78 94 0 0
右端再去2位 7 9 8 8 7 9 0 0

左端去掉4位 89 45 64 68 87 43 0 0
右端再去1位 8 4 6 6 8 4 0 0
左端去掉5位 9 5 4 8 7 3 0 0

左右各去1位 2378 6194 4286 4286 2378 6194 0 0
左右各去2位 37 19 28 28 37 19 0 0
去掉中间2位 1289 5645 6464 2468 3287 7643 0 0
去掉中间4位 19 55 64 28 37 73 0 0

左右颠倒 987321 549165 468246 868242 787323 349167 0 0
再斩头去尾 8732 4916 6824 6824 8732 4916 0 0
原数12位交换 213789 651945 462864 422868 233787 671943 0 0
原数56位交换 123798 561954 642846 242886 323778 761934 0 0

原数首位重叠 1123789 5561945 6642864 2242868 3323787 7761943 0 0
原数二位重叠 1223789 5661945 6442864 2442868 3223787 7661943 0 0
原数末位重叠 1237899 5619455 6428644 2428688 3237877 7619433 0 0

首后插第3位数 1323789 5161945 6242864 2242868 3323787 7161943 0 0
再插入第4位数 17323789 59161945 68242864 28242868 37323787 79161943 0 0

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 08:21

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-30 14:59 编辑

再给大家几组等幂和数组

一个7次12阶等幂和数组：
{9,13,22,32,40,50,55,59,78,96,114,116}<——>r=[0,7]
{10,11,26,29,39,48,57,64,72,100,110,118}

一个7次15阶等幂和数组：
{306,318,333,375,387,429,456,412,416,452,488,528,564,600,604}<——>r=[0,7]
{309,312,339,366,396,423,450,453,408,424,500,516,572,592,608}

又一个7次15阶等幂和数组：
{300,312,327,369,381,423,438,450,404,408,480,520,556,592,596}<——>r=[0,7]
{303,306,333,360,390,417,447,400,416,436,492,508,564,584,600}

一个9次10阶等幂和数组：数组中的k是指数
1k+13k+126k+214k+215k+413k+414k+502k+615k+627k
=6k+7k+134k+183k+243k+385k+445k+494k+621k+622k
(k=1,2,3,4,5,6,7,8,9)

一个9次10阶等幂和数组：数组中的k是指数
2589701k + 2972741k + 6579701k + 9388661k + 9420581k + 15740741k + 15772661k + 18581621k + 22188581k + 22571621k
= 2749301k + 2781221k + 6835061k + 8399141k + 10314341k + 14846981k + 16762181k + 18326261k + 22380101k + 22412021k
( Prime solution, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )

yangchuanju · 发表于 2022-10-30 15:26

等幂和数组（节录）
https://blog.csdn.net/double_main/article/details/53976168
double_main
于 2017-01-02 10:22:46 发布

如果两组由不同的n（n>=3）个正整数组成的数组中，两数组的各个数之和相等，且两数组的各个数从2次幂之和、3次幂之和以至到n-1次幂之和均相等，则这两个数组称为等幂和n元组；
本节从探讨等幂和3元组至等幂和n（n<=6）元组，其中递推关系的建立与实施是重点，也是难点；
等幂和3元组
把6个互不相等的正整数a、b、c、d、e、f分成两组，若这两个数组具有以下两个相等特性：
a+b+c=d+e+f=s
a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2=s2
则把这两数组（a、b、c）与（d、e、f）（约定a< b< c，d< e< f，a< d）称为等幂和3元组；

例如（1,5,6）与（2,3,7）就是等幂和3元组：
1+5+6=2+3+7=12
1^2+5^2+6^2=2^2+3^2+7^2=62
……
运行程序不难得数组元素均为1位数的等幂和3元组有4组：
（1,5,6;2,3,7），（1,6,8;2,4,9），（2,6,7;3,4,8），（3,7,8;4,5,9）

可以把以上4组解巧妙重组为“4位数”3元组：
（1123,5667,6878；2234,3445,7989）（s1=13668，s2=80682902）
以上“4位数”3元组称为金蝉数组，因该数组具有和相等（s1）且平方和也相等（s2），还具有神奇的脱壳性质：
同时从高位去除1、2个数字，或同时从低位去除1、2个数字，或同时去除最高位与最低位后，分别得：

（123,667,878；234,445,989）（s1=1668，s2=1230902）
（23,67,78；34,45,89）（s1=168，s2=11102）
（112,566,687；223,344,798）（s1=1365，s2=804869）
（11,56,68；22,34,79）（s1=135，s2=7881）
（12,66,87；23,44,98）（s1=165，s2=12069）
经过脱壳而得的以上数组均具有和相等（s1）且平方和也相等（s2）的特性；
……
等幂和n元组
再看“1,5,8,12”与“2,3,10,11”这两个4元数组具有以下特性：
1+5+8+12=2+3+10+11=26
1^2+5^2+8^2+12^2=2^2+3^2+10^2+11^2=234
1^3+5^3+8^3+12^3=2^3+3^3+10^3+11^3=2366
显然，“1,5,8,12”与“2,3,10,11”为等幂和4元组；
这些奇特的数组是如何得到的呢？
以此类推，是否存在等幂和5元组或等幂和6元组？
……
（一个五次六阶等幂和数组：）
第1组6个数为: 1 6 7 17 18 23
第2组6个数为: 2 3 11 13 21 22
1次方和都是:72
2次方和都是:1228
3次方和都是:23472
4次方和都是:472036
5次方和都是:970352
……

【附注】“……”省略未选择文字。

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金蝉脱壳数组——等幂和数组——华林问题

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