为什么素数个数与\(\displaystyle\sum_{k=1}^N {1\over k}\)相关联

白新岭

为什么素数个数与\(\displaystyle\sum_{k=1}^N {1\over k}\)相关联，素数定理告诉我们π（x）=\(N\over{ln(N)}\),倒数函数的积分是ln(x),在积分思想上，我们做了无限分割，现在我们只做有限分割，只按自然数单位1作为划分单元，这时我们就看到了一个取整阶梯函数f（x）=\(1\over[x]\)与倒数函数f（x）=\(1\over x\)，从x=1点后的图形面积（函数与x轴之间的面积，大致相等，之差一个欧拉常数γ）。

白新岭

上楼的“之差”是“只差”的意思。素数个数=范围值N/自然数的倒数之和（截止到N），（在这里我想说明一点，今天早晨，想到孪生素数的倒数之和如何计算，自然数的倒数之和与素数个数有关联，那么，它的（孪生素数的倒数之和）值与自然数的倒数之和是否也有内部深层次的关联，这是本主题的题外话），
       欧拉公式：\(\displaystyle\prod_{P≥2}^∞ {1\over{(1-{1\over P})}}\)=\(\displaystyle\sum_{n=1}^∞ {1\over n}\)

白新岭

我们大部分网友都对连乘积形式抱有一个高度认可，素数的个数大概为：N∏\((1-{1\over P})\)=N∏\({P-1}\over P\)=\(N\over{∏{1\over(1-{1\over P})}}\)

白新岭

而从实际出发，我们就会发现，这种连乘积形式明显把根号n的素数给去掉了，还有连乘积中的P与后式欧拉形式的有点不一样，连乘积的P取到根号n前即可，欧拉形式的取到n内，但是仍有无限项没有包括进去，所以连乘积的形式，与自然数的倒数之和，ln（x）值，以及倒数的积分值，它们之间都有或多或少不一致的地方，只有趋于无穷大时，这种差距才会趋于稳定。

大傻8888888

白新岭 发表于 2022-11-9 21:12
我们大部分网友都对连乘积形式抱有一个高度认可，素数的个数大概为：N∏\((1-{1\over P})\)=N∏\({P-1}\ove ...

根据梅滕斯定理，可以知道：
∏(1-1/p)～e^(-γ)/lnN      当N→∞       其中2≤p≤N      e^(-γ)≈0.56146
同样∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN       当N→∞         其中2≤p≤√N      e^(-γ)≈0.56146
注意上面两个公式，下面公式和上面公式其实是一样的，只是因为p的取值不同而已，一个是p≤N，而另一个是p≤√N
这样就有∏(1-1/p)/2e^(-γ)=1/lnN       当N→∞         其中2≤p≤√N      e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)             当N→∞        其中2≤p≤√N
根据孪生素数用素数个数的公式表示则有;
2Cπ(N)^2/N=2CN[∏(1-1/p)/2e^(-γ)]^2      当N→∞   其中2≤p≤√N   
则为2Cπ(N)^2/N=2CN[∏(1-1/p)/2e^(-γ)]^2=2CN/lnN^2      当N→∞   其中2≤p≤√N  
2CN/lnN^2正是哈李公式
因为N/lnN^2=√N ^2/4（ ln√N）^2=1/4[√N /（ ln√N）]^2
所以2CN/lnN^2=（1/2）C[√N /（ ln√N）]^2   
√N /（ ln√N）是√N以内素数的个数
当N→∞     √N /（ ln√N）→∞
所以2CN/lnN^2 →∞
因此就可以证明孪生素数当N趋近无限大的同时也趋近无限大