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自然数集合的元素个数也是数不到滴不可数到底的无穷集合。事实上，需要提出如下的定义2.与说明。
定义2：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；以元素个数无限增多的有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向于+∞，但始终达不到+∞的，包含所有有限自然数的元素个数趋向于非正常实数+∞的自然数集合叫做：元素个数趋向于非正常实数+∞的含有所有有限自然数的，不可构造完毕的想象性质的、无穷性质的、非正常自然数集合；依照惯例，可以记作：N=｛0，1，2，3，……｝。与《非标准分析》不同，自然数集合中没有《非标准分析》的无限大自然数，但不缺少任何有限自然数。
说明1：笔者提出的 这个定义之前，使用恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”的说法，提出了自然数无限集合来源于有穷集合的如下的三个无穷序列：
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
其中序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}的变数，序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}的变数，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 的变数，根据广义极限的概念，得到这三个无穷序列的趋向性极限都是想象性的元素个数趋向于+∞的无穷集合。式中符号+∞是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页无穷大量研究中讲的非正常（或称广义）极限 性质的“非正常实数 [4]”。虽然这三元素个数序列的广义极限都是+∞ 但根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式, 的定值法则，这几个不同序列的趋向可以是元素个数不同的无穷集合。因此，康托尔不能提出自然数集合N的无穷集合元素个数是定数的“无穷序数与无穷基数理论”。他这个理论是使用了“数学必须肯定实无限，无穷集合是完成了的整体的实无穷观点”的违背“无穷次使用继数法则做不到的事实”的错误；也是违背了两千多年前亚里士多德潜无穷的观点的错误；对待自然数无穷集合，必须使用无穷集合与有穷集合对立统一的唯物辩证法进行阐述。
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发表于 2023-12-4 08:43
