关于无限循环小数0.$\dot a_1$$a_2a_3a_4$……$\dot a_m$可化为分数的讨论

春风晚霞

       命题：无限循环小数0.$\dot a_1$$a_2a_3a_4$……$\dot a_m$可化为分数。
       1、引理：自然数集N与其真子集$N^*$={m+1，m+2，m+3，……，n-1，n……}等势(即N与$N^*$的元素一样多)。m∈N且m是定数。
       证明：考虑定义在N上取值在$N^*$的单调函数y=f(k)=k+m,其中k∈N，y=k+m∈$N^*$；因为任给k∈N，唯一存在y=k+m∈$N^*$；反之任给y∈$N^*$，唯一存在k=y-m∈N，所以y=f(k)=k+m是N到$N^*$的一一对应。所以，N中的数与$N^*$中的数一样多。
       2、证明无限循环小数0.$\dot a_1$$a_2a_3a_4$……$\dot a_m$可化为分数。
       证明：设x=0.$\dot a_1$$a_2a_3a_4$……$\dot a_m$，则$10^mx=\begin{cases}a_1a_2…a_m+x，当a_1≠0时\\a_ia_{i+1}a_{i+2}……a_m+x，当a_1=a_2=…=a_{i-1}=0，a_i≠0时\end{cases}$

所以$x=\begin{cases}\dfrac{a_1a_2…a_m}{10^m-1}，当a_1≠0时\\\qquad\\\dfrac{a_ia_{i+1}a_{i+2}……a_m}{10^m-1}，当a_1=a_2=…=a_{i-1}=0，a_i≠0时\end{cases}$

亦即$x=\begin{cases}\dfrac{a_1a_2…a_m}{\underbrace{999…99}_{m个9}}，当a_1≠0时\\\qquad\\\dfrac{a_ia_{i+1}a_{i+2}……a_m}{\underbrace{999…99}_{m个9}}，当a_1=a_2=…=a_{i-1}=0，a_i≠0时\end{cases}$

       3、随例
      例1、①化无限循环小数0.333……；0.999……为分数
       ②化无限循环小数0.232323……；0.13751375……；0.00087250008725……为分数。
       【解】①：根据定理无限循环小数0.333……=$\tfrac{3}{9}$=$\tfrac{1}{3}$，亦是$\tfrac{1}{3}$=0.333……
         无限循环小数0.9999……=$\tfrac{9}{9}$=1，亦是1=0.9999……
       【解】②：根据定理无限循环小数0.232323……=$\tfrac{23}{99}$，亦是$\tfrac{23}{99}$=0.232323……;
         无限循环小数0.13751375……=$\tfrac{1375}{9999}$，亦是$\tfrac{1375}{9999}$=0.13751375……
         无限循环小数0.00087250008725……$\tfrac{8725}{9999999}$，亦是$\tfrac{8725}{9999999}$=0.00087250008725……
        例2、证明下面循环小数(题中循环节是蓝色部分数字，共762个有效数字)(本题为elim先生给出)
0.00043725404459991254919108001749016178399650196764320069960647135986007870572802798425885439440314822912111937035417577612592916484477481416703104503716659379099256668124180148666375163970266724967205946655006558810668998688237866200262352426759947529514648010494097070397901180585920419763882815916047223436816790555312636641888937472671622212505465675557498906864888500218627022299956274595540008745080891998250983821600349803235679930039352864013992129427197201574114560559685177087888062964582422387407083515522518583296895496283340620900743331875819851333624836029733275032794053344993441189‘3310013117621337997376475732400524704853519895059029296020988194140795802361171840839527765631832094446873633581110625273283777874945343244425010931351114997813729777000437254044599912549191080017490161783996501967643200699606471359860078705728027984258854394403148229121119370354175776125929164844774814167031045037166593790992566681241801486663751639702667249672059466550065588106689986882378662002623524267599475295146480104940970703979011805859204197638828159160472234368167905553126366418889374726716222125054656755574989068648885002186270222999562745955400087450808919982509838216003498032356799300393528640139921294271972015741145605596851770878880629645824223874070835155225185832968954962833406209007433318758198513336248360297332750327940533449934411893310013117621337997376475732400524704853519895059029296020988194140795802361171840839527765631832094446873633581110625273283777874945343244425010931351114997813729777000437254044599912549191080017490161783996501967643200699606471359860078705728027984258854394403148229121119370354175776125929164844774814167031045037166593790992566681241801486663751639702667249672059466550065588106689986882378662002623524267599475295146480104940970703979011805859204197638828159160472234368167905553126366418889374726716222125054656755574989068648885002186270222999562745955400087450808919982509838216003498032356799300393528640139921294271972015741145605596851770878880629645824223874070835155225185832968954962833406209007433318758198513336248360297332750327940533449934411893310013117621337997376475732400524704853519895059029296020988194140795802361171840839527765631832094446873633581110625273283777874945343244425010931351114997813729777……=$\tfrac{1}{2287}$
     【证明】因本题第一个循环节(即题中蓝字部分)0.$\dot a_1$$a_2a_3a_4a_5a_6……a_{760}a_{761}\dot a_{762}=$
0.00043725404459991254919108001749016178399650196764320069960647135986007870572802798425885439440314822912111937035417577612592916484477481416703104503716659379099256668124180148666375163970266724967205946655006558810668998688237866200262352426759947529514648010494097070397901180585920419763882815916047223436816790555312636641888937472671622212505465675557498906864888500218627022299956274595540008745080891998250983821600349803235679930039352864013992129427197201574114560559685177087888062964582422387407083515522518583296895496283340620900743331875819851333624836029733275032794053344993441189331001311762133799737647573240052470485351989505902929602098819414079580236117184083952776563183209444687363358111062527328377787494534324442501093135111499781372977 7中，$a_1$=$a_2$=$a_3$=0，$a_4$=4，且$a_4$$a_5$$a_6$……$a_{759}=$$\small\overbrace{4372……77}^{759个有效数字}$，则利用Mathematica软件的内置函数化简得$\tfrac{\overbrace{4372……77}^{759个有效数字}}{\underbrace{999…99}_{762个9}}=$$\tfrac{1}{2287}$.所以，所给无限循环小数等于$\tfrac{1}{2287}$.

【注】：证明本题需大量的数据演算，若不借助先进的计算工具，几乎无法完成证明，如本题若不借助office Word的数据统计功能(或Mathematica字符串长度测试函数)就很难断定题中的循环节是一个由762个数字组成的数字串。

elim

谢谢春风晚霞先生的工作。随便弄一个分数，jzkyllcjl 连一个循环节都算不到头。问题的本质在于，小数是和 $\displaystyle\sum_{n=1}^m \frac{a_n}{10^n}$. 当 $m$为正整数时这是有限小数，否则这是极限$\,\displaystyle\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\frac{a_n}{10^n}$.,
(其中$0\le a_n\le 9,\forall n$)

由于 jzkyllcjl 本质上没弄懂极限，级数这些基本概念，他建立不了像样的循环小数概念。可悲可怜。

jzkyllcjl

这个无尽小数是elim提出的，我早已用极限方法证明了 。
elim 贴出了 分数 1/2287与无尽循环小数的等式，要笔者证明。对此，笔者首先回复说：他这个等式不成立，成立的只是“无尽循环小数表示的无穷数列的趋向性极限才是分数”。其具体叙述，需要参看笔者的论文“无穷的概念与实数理论问题”（发表在《理论数学》2012年2卷4期）。根据那篇论文，可知：这个循环小数的循环节长不大于2286位，设循环节长的位数为l,循环节中的数字依次为; q1q2q……ql,证明时，将无穷数列 写作：n-ml,ml+1,ml+2,……，ml+l-1 的 l 种情形，当n趋向于无穷大时，就是 m趋向于无穷大，使用等比级数和的极限公式 ，就得到：这个无尽循环小数表示的无穷数列的极限是：分子为q1q2q……ql ，分母为l个9的整数 的分数。

elim

jzkyllcjl 不知道什么是无尽小数，更不知道什么是循环小数，对他来说，没有什么等式是成立的，除非同义反复。
循环小数是一个特殊的无穷级数，其和就是一个极限，而这个极限对主贴而言恰等于我给出的分数。

jzkyllcjl  九十多岁了，没弄对过任何数学概念。只会吃狗屎。活该被人类数学抛弃。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-11-18 10:40
这个无尽小数是elim提出的，我早已用极限方法证明了 。
elim 贴出了 分数 1/2287与无尽循环小数的等式，要 ...

曹先生：
       一、我主帖中说elim先生所给无限循环小数是以759个有效数字为循环节无限循环的，其依据是执行Mathematica命令N[Re[1/2287],759]=0.000437254044599912549191080017490161783996501967643200699606471359860078705728027984258854394403148229121119370354175776125929164844774814167031045037166593790992566681241801486663751639702667249672059466550065588106689986882378662002623524267599475295146480104940970703979011805859204197638828159160472234368167905553126366418889374726716222125054656755574989068648885002186270222999562745955400087450808919982509838216003498032356799300393528640139921294271972015741145605596851770878880629645824223874070835155225185832968954962833406209007433318758198513336248360297332750327940533449934411893310013117621337997376475732400524704853519895059029296020988194140795802361171840839527765631832094446873633581110625273283777874945343244425010931351114997813729777得到的。先生的【这个循环小数的循环节长不大于2286位】是从何而得？你为什么不去数一下这个循环节长到底是多少？这可是一个有限数，还需你去趋近但不等于地瞎整吗？
       二、无限循环小数是以循环节为基本单位无限循环的。由于自然数集N与其真子集$N^*$={m+1，m+2，……，n-1，n，……}等势，所以N中$0.a_1a_2a_3……a_n$的个数与$N^*$中$0.a_1a_2a_3……a_n$的个数相等。所以化循环小数为分数的公式是成立的。
       三、先生认为【他(指elim先生)这个等式不成立，成立的只是“无尽循环小数表示的无穷数列的趋向性极限才是分数”】，为什么不成立？你计算过$\tfrac{1}{2287}$的值到无限吗？曹先生，第一个在数学中给出“极限”概念的数学家是cauchy，但在cauchy之前或之后(包括cauchy)极限都有“极端、最大限度”之意。所以，你的“趋向但不等于”极限臆想纯属扯蛋！曹先生，数学是说理的。不要总是炫耀你在什么杂志什么刊物发表了什么，你能脚踏实地的提出并解决几个除你《全能近似》外，其它数学思想、数学方法不能解决的问题吗？

jzkyllcjl

春风晚霞：笔者的论文“无穷的概念与实数理论问题”（发表在《理论数学》2012年2卷4期）。根据那篇论文，可知：这个循环小数的循环节长不大于2286位，设循环节长的位数为l。证明了这个无尽循环数的极限是分子为q1q2q……ql ，分母为l个9的整数 的分数。这个分数等于1/2287。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-11-18 15:32
春风晚霞：笔者的论文“无穷的概念与实数理论问题”（发表在《理论数学》2012年2卷4期）。根据那篇论文，可 ...

曹先生：
       真是荒唐：你的【论文“无穷的概念与实数理论问题”（发表在《理论数学》2012年2卷4期）】，与elim先生所给的无限循环小数有什么关系？你的那篇论文，与这个循环小数的循环节长不大于2286位有什么联系？你发表的论文与你在论坛中的胡说八道没有什么区别！【设循环节长的位数为l。证明了这个无尽循环数的极限是分子为q1q2q……ql ，分母为l个9的整数 的分数】，你是如何计算出这个【分子为q1q2q……ql ，分母为l个9的整数 的分数】的？你能够把$\tfrac{1}{2287}$计算到小数点后2287位吗？你凭什么说约简$\tfrac{q1q2q……ql}{\underbrace{999…99}_{l个9}}=$$\tfrac{1}{2287}$ ？

mathmatical

带根号的分数，都是无理数，不带根号的最简分数，都是有理数。

elim

jzkyllcjl 篡改了无尽小数的定义，于是他的无尽小数不是定数因而不等于任何分数．我要他自证其缪论的方法是让他计算1/2287的十进制值．他算不出耒，就说明他加减乘除缺除法，他算对的话，就是我给出的循环小数．现在的问题是jzkyllcjl 连一个循环节都算不到底，他搞什么都烂尾，他的有大小的点点到哪里，哪里就成为数学荒漠：定理消除，论证无效．他不被人类抛弃，天诛地灭．

elim

jzkyllcjl 无论是证明还是否证，都因无有依据而烂尾失效。下面是我的论证。

设$m, n\in\mathbb{N},\, 0 < m < 10^n-1$, 则 $\small\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{m}{10^{kn}}=\frac{m}{10^n}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{10^n}\right)^k$
$\small=\displaystyle\frac{m}{10^n}\frac{1}{1-10^{-n}}=\frac{m}{10^n-1}$. 即节长为$n$的循环小数是形如 $\small\dfrac{m}{\underset{n个9} {\underbrace{99\ldots 9}}}$ 的分数.
接着我们作以下计算：

可见素数$m=2287\mid (10^{762}-1),\;\small\dfrac{1}{2287}=\dfrac{n}{10^{762}-1}$ 是循环小数，
其循环节是
$\color{blue}{000437254044599912549191080017490161783996501967643200\\ 699606471359860078705728027984258854394403148229121119\\ 370354175776125929164844774814167031045037166593790992\\ 566681241801486663751639702667249672059466550065588106\\ 689986882378662002623524267599475295146480104940970703\\ 979011805859204197638828159160472234368167905553126366\\ 418889374726716222125054656755574989068648885002186270\\ 222999562745955400087450808919982509838216003498032356\\ 799300393528640139921294271972015741145605596851770878\\ 880629645824223874070835155225185832968954962833406209\\ 007433318758198513336248360297332750327940533449934411\\ 893310013117621337997376475732400524704853519895059029\\ 296020988194140795802361171840839527765631832094446873\\ 633581110625273283777874945343244425010931351114997813\\ 729777}$

jzkyllcjl 加减乘除缺除法，只会吃狗屎。