趣味无穷的梅森数和梅森因子

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 06:15

趣味无穷的梅森数和梅森因子
梅森数是一类十分简单的整数，表达式是2^p-1，这里的指数p是素数。
梅森数中有素数，也有合数，合数居多，它们是一个绝妙的大家族。

梅森素数为数不多，截至今日，仅发现51个，第51号梅森素数是2^82589933-1，
它是当今所知道的最大素数，有24862048位，是迄今为止人类发现的最大素数。
如果用普通字号将它打印下来，其长度将超过100公里!

除梅森素数3以外外，梅森数都是模8余7型的奇数；
梅森因子都是模24余1,7,17,23型的奇素数，或者说都是模8余1和7型的奇素数。

不论是梅森数本身，还是它的素因子，复合因子都是指数p的偶数倍加1；梅森素数3除外。
2^2-1=3,  (3-1)/2=1;
2^3-1=7,  (7-1)/3=2;
2^5-1=31,  (31-1)/5=6;
2^7-1=127,  (127-1)/7=18;
2^11-1=2047,  (2047-1)/11=186;
2^11-1=23*89,  (23-1)/11=2,  (89-1)/11=8;
…………

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 06:16

梅森因子都是指数p的偶数倍加1型的奇素数；
倍数值只能是2,6,8；10,14,16；18,22,24；……
梅森因子减1除以指数“必定是整数”，进一步“必定是偶数”！
这里的梅森因子可以是梅森数的素因子，也可以是它的复合因子。

梅森因子都是模8余7和1型的素数，3除外；
其中模8余7的占大多数，在前10000个梅森因子中，
模8余1的只有1575个，模8余7的有8424个。
两类梅森因子都只是素数中对应类的一部分，
模8余1的梅森因子中没有素数17,41,73,97,113,137,193……；
模8余7的梅森因子中没有素数71,79,103,151,191,199……。

在多素因子梅森数中，模8余7的素因子个数应是1个，3个，5个……，必须是单数，不然的话不能保证梅森数都是模8余7的。

梅森数中没有平方、立方等多重素因子；
一个梅森因子只能是某一个梅森数的素因子，不会是2个，3个梅森数的因子。

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 06:16

梅森数分解困难
别看梅森数形式简单，但若要将梅森合数分解成它的素因子乘积，
确非常困难，难坏了数论界人士，
至今已经分解到底的梅森数个数才几百个！
梅森数的素因子个数可能只有1个——梅森素数；
梅森合数中的素因子个数没有限制，2,3,4,5……，
总之梅森数的素因子个数可以是所有的自然数！
p 分解式
11 2047=23×89
23 8388607=47×178481
29 536870911=233×1103×2089
37 137438953471<12>=223×616318177
41 2199023255551<13>=13367×164511353
43 8796093022207<13>=431×9719×2099863
47 140737488355327<15>=2351×4513×13264529
53 9007199254740991<16>=6361×69431×20394401
59 576460752303423487<18>=179951×3203431780337<13>
67 147573952589676412927<21>=193707721×761838257287<12>
71 2361183241434822606847<22>=228479×48544121×212885833
73 9444732965739290427391<22>=439×2298041×9361973132609<13>
79 604462909807314587353087<24>=2687×202029703×1113491139767<13>
83 9671406556917033397649407<25>=167×57912614113275649087721<23>
97 158456325028528675187087900671<30>=11447×13842607235828485645766393<26>

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 06:17

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-22 14:49 编辑

梅森因子的倍数关系
梅森因子减1除以最小素因子减1，可以是整数（整除），也可以是分数（不整除）！
这里的梅森因子可以是梅森数的素因子，也可以是它的复合因子。
2047=23×89,  (89-1)/(23-1)=4;
8388607=47×178481,  (178481-1)/(47-1)=3880;
536870911=233×1103×2089=233*2304167=1103*486737=2089*256999,
(1103-1)/(233-1)=4.75,  (2089-1)/(233-1)=9,  (2089-1)/(1103-1)=1.8947…;
(2304167-1)/(233-1)=9931.75，……

又例如
已知梅森数2^397-1
=322781234760863573706989896500376484291213224103652939103832419567580952752105149328705669160017228929487896496593436671
含9个素因子，2^397-1<120>
=2383*6353*50023*53993*202471*5877983*814132872808522587940886856743<30>*1234904213576000272542841146073<31>*6597485910270326519900042655193<31>
序号素因子 (q-1)/p 下一q除以上一q
指数 397 ———— ————
q1 2383 6 1
q2 6353 16 2.666666667
q3 50023 126 7.875
q4 53993 136 1.079365079
q5 202471 510 3.75
q6 5877983 14806 29.03137255
q7 8.14133E+29 2.05071E+27 1.38506E+23
q8 1.2349E+30 3.11059E+27 1.516833744
q9 6.59749E+30 1.66184E+28 5.342508219
— —————— 都是渐大整数小数，没有大小关系

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 06:24

太阳先生热衷于讨论3素因子及3素因子以上的梅森数的因子关系，
令梅森数的最小素因子为m，第2素因子为t，其余素因子合并成一个复合因子y，
第2素因子及第2以后的所有素因子合并成一个复合因子ty；
分别计算并给它一个简单的符号：
(t-1)/(m-1)→b1; (y-1)/(m-1)→b2; (ty-1)/(m-1)→b3;
b1,b2,b3共有以下几种情况：
（一）三b都是整数——3整除；
（二）b1是整数，b2，b3不是整数——整除+不整除+不整除；
（三）b2是整数，b1，b3不是整数——不整除+整除+不整除；
（四）三b都不是整数——3不整除；
（五）b1,b2不是整数，而b3是整数——2不整除+1整除；
恐怕不会再有其它类型了。

因子比满足（一）的3整除梅森数有：p=179,191,233,239,251,359,419,431,443,461,491,557,577,659,683,719,743,911,1019等等，
其中大多数是(m-1)p等于2的，少数是(m-1)/p等于6的；
经进一步计算分析，当(m-1)/p等于8,10,14,16……时也有极少数梅森数满足3整除条件。

因子比满足（四）3不整除的梅森数大有人在，都是平庸之辈，不去研究。
因子比属于（二）、（三）型的较少，
（二）型的只找到p=4127和6199两个，老大之小三至今光棍一条，老二的三小子倒早已结婚生子；
p6199虽然个子长得高大，但生日晚了两天，只能当弟弟喽！
（三）型的只找到p=29和2837两个，小弟弟29之小三至今光棍一条，大哥哥的三小子也早已结婚生子啦。

因子比满足（五）的也有不少，p73,113,317,397,499,601,761,883都是，
但太阳先生六亲不认——只跟着p499过日子去了！

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 13:17

研究梅森因子之间的倍数关系，梅森因子与指数的倍数关系，有利于寻找分解梅森数的技巧和方法。

偏离了这个宗旨，如网名叫“太阳”的把梅森数的第3及第3以后的所有因子合并成一个复合因子，再研究它们之间的倍数关系，毫无实际价值。

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 13:25

经统计，在前1229个指数n小于10000的梅森数中，共有22个梅森素数，其余都是合数；
在那些合数之中，有280个被完全分解，素因子个数2-9个；
有873个尚未完全分解，最小的是2^1213-1,2^1217-1,2^1229-1,2^1231-1；
有54个至今尚未找到任何素因子的，最小的是2^1277-1。

在p=10007-19997中共1033个素数，也就是10000-20000间有1033个梅森数；
其中梅森素数2个，完全分解的13个，不完全分解的928个，没有找到任何素因子的89个。

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 13:30

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-22 14:34 编辑

梅森数的最小素因子是梅森数指数p的2倍加1，q1=2*p+1；第2素因子与第1素因子之间的最小倍数是4，(q2-1)/(q1-1)=4, q2=4*q1-3。

如果梅森数只含有两个素因子，则一个小于梅森数的平方根，另一个大于梅森数的平方根。
如果梅森数由3个素因子构成，则第2素因子不小于第1素因子，且不大于“梅森数除以第1素因子之商”的平方根，第3素因子不小于“梅森数除以第1素因子之商”的平方根。

已知梅森数2^397-1
=322781234760863573706989896500376484291213224103652939103832419567580952752105149328705669160017228929487896496593436671
含9个素因子，2^397-1<120>
=2383*6353*50023*53993*202471*5877983*814132872808522587940886856743<30>*1234904213576000272542841146073<31>*6597485910270326519900042655193<31>
序号素因子平方根备注
— 3.2278E+119 5.68138E+59 ————
q1 2383 5.68138E+59 q1<左列平方根
q2 6353 1.16384E+58 q1<q2<左列平方根
q3 50023 1.46017E+56 q2<q3<左列平方根
q4 53993 6.52857E+53 q3<q4<左列平方根
q5 202471 2.80963E+51 q4<q5<左列平方根
q6 5877983 6.24407E+48 q5<q6<左列平方根
q7 8.14133E+29 2.57545E+45 q6<q7<左列平方根
q8 1.2349E+30 2.85434E+30 q7<q8<左列平方根
q9 6.59749E+30 2.56856E+15 q9>左列平方根

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 13:53

当第1素因子减1是指数的2倍时，第2素因子减1与指数的比值最小是8；
当第1素因子减1是指数的6倍时，第2素因子减1与指数的比值最小也是8（p=761）；
当第1素因子减1是指数的8倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是38（p=29），最小是多少不知；
当第1素因子减1是指数的10倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是48（p=571），最小是多少不知；
当第1素因子减1是指数的14倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是...；366403224-929
当第1素因子减1是指数的16倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是...；
当第1素因子减1是指数的18倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是...；
当第1素因子减1是指数的22倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是...；
当第1素因子减1是指数的24倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是568（p=967）；
当第1素因子减1是指数的26倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是...；
当第1素因子减1是指数的30倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是206（p=113）；
当第1素因子减1是指数的32倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是...；165150179162-839
当第1素因子减1是指数的34倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是...；141120-367
当第1素因子减1是指数的38倍时，第2素因子减1与指数的比值至少是...；

yangchuanju · 发表于 2022-11-22 13:54

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-23 11:20 编辑

如果两个素数都是某个梅森数的因子，则(q1-1)/p=k1,  (q2-1)/p=k2;
q1=k1*p+1,  q2=k2*p+1;
复合因子q1*qi也能被梅森数指数p整除：
(q1*q2-1)/p=[(k1*p+1)*(k2*p+1)-1]/p=[k1*k2*p^2+k1*p+k2*p]/p=k1*k2*p+k1+k2，是整数。

如果第2、第3素因子减1都能被第1素因子减1整除，则由第2、第3因子相乘所得复合因子
一定能被第1素因子减1整除：
令(q2-1)/(q1-1)=a,  (q3-1)/(q1-1)=b,  则
(q2-1)=a*(q1-1),  q2=a*(q1-1)+1;
(q3-1)=b*(q1-1),  q3=b*(q1-1)+1;
q2*q3=[a*(q1-1)+1]*[b*(q1+1}-1]=a*b*((q1-1)^2+a*(q1-1)+b*(q1-1)+1
(q2*q3-1)/(q1-1)=a*b*(q1-1)+a+b
这就是3整除的证明。

如果第2、第3素因子减1有一个不能被第1素因子减1整除，则由第2、第3因子相乘所得复合因子
不能被第1素因子减1整除：
令(q2-1)/(q1-1)=a.a1,  (q3-1)/(q1-1)=b,  则
(q2-1)=a.a1*(q1-1),  q2=a.a1*(q1-1)+1;
(q3-1)=b*(q1-1),  q3=b*(q1-1)+1;
q2*q3=[a.a1*(q1-1)+1]*[b*(q1+1}-1]=a.a1*b*((q1-1)^2+a.a1*(q1-1)+b*(q1-1)+1
(q2*q3-1)/(q1-1)=a.a1*b*(q1-1)+a.a1+b=a.a1*[b*(q1-1)+1]+b;
小数乘以整数还是小数，再加一个整数，仍是小数，故上面的说法成立。

如果第2、第3素因子减1都不能被第1素因子减1整除，则由第2、第3因子相乘所得复合因子
有可能被第1素因子减1整除：
令(q2-1)/(q1-1)=a.a1,  (q3-1)/(q1-1)=b.b1,  则
(q2-1)=a.a1*(q1-1),  q2=a.a1*(q1-1)+1;
(q3-1)=b.b1*(q1-1),  q3=b.b1*(q1-1)+1;
q2*q3=[a.a1*(q1-1)+1]*[b.b1*(q1+1}-1]=a.a1*b.b1*((q1-1)^2+a.a1*(q1-1)+b.b1*(q1-1)+1
(q2*q3-1)/(q1-1)=a.a1*b.b1*(q1-1)+a.a1+b.b1=a.a1*[b.b1*(q1-1)+1]+b.b1=a.a1*b.b1*(q1-1)+a.a1+b.b1;
例，2^73-1=
439*2298041*9361973132609,  2298040/438=5246+2/3,  9361973132609/438=21374367882+2/3,
单看分数（小数）部分，0.a1*0.b1=4/9,  乘以438等于1752,除以9余6，第1项分数部分为6/9=2/3；
2/3加2/3，再加2/3，等于2,2是整数。
小数乘以小数还是小数，再加一个小数，一般还是小数，但有可能是整数，故上面的说法成立。
再如p=499，经计算0.a1=2/7,  0.b1=3/7,  *20958=2566+2/7,  2/7+2/7+3/7=1（整数）。

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