数论难题解答

费尔马1

数论难题解答
山东省兰陵县磨山镇华岩寺二村 程中战

1.        求证：丢番图方程a^2+b^2=2c^2 有正整数解，其中，a、b、c为互质的奇数。
分析：若a^2+b^2=c^2, c^2加系数2，而a^2、b^2的系数不变，又因为2不是一个平方数，所以，在这种情况下，原不定方程无正整数解。反之，若a^2+b^2≠c^2时，原方程则有正整数解。
解：设2c^2=2（u+v）^2=2u^2+4uv+2v^2=（2u）^2+2×2uv+v^2+v^2-2u^2=（2u+v）^2+（v^2-2u^2）
令v^2-2u^2=k^2 即v^2-k^2=2u^2  ，（v+k）（v-k）=2u^2  
令v+k=u^2 ，v-k=2  解这个方程组得k=（u^2/2）-1 , v=（u^2/2）+1
令u=2n 得 k=2n^2-1 ，v=2n^2+1 代入上面的式子得
a=2u+v=2×2n+2n^2+1=2n^2+4n+1 ，b=k=2n^2-1 ，c=u+v==2n^2+2n+1
化简得，a=2（n+1）^2-1 ，b=2n^2-1 ，c=（n+1）^2+n^2
其中，n为任意正整数，a、b、c为互质的奇数，且a、b不同时是平方数。
证明：用较大的数除以较小的数，有余数则为互质，
a/b=[2（n+1）^2-1] /(2n^2-1)=1……（4n+2）互质
c/b=[（n+1）^2+n^2] /(2n^2-1)=1……（2n+2）互质
a/c=[2（n+1）^2-1]/ [（n+1）^2+n^2]=1……2n互质
可见，a、b、c两两互质；
两个相邻平方数之差是，（n+1）^2-n^2=2n+1
两个相差2的正整数的平方数之差是，（n+1）^2-（n-1）^2=4n
假设a、b都是平方数，则a-b=2（n+1）^2-1 -2n^2+1=4n+2
由此可见，a、b不同时是平方数。
2.        求证：丢番图方程a^4+b^4=2c^2 无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数。
证明：已经证明丢番图方程a^2+b^2=2c^2 有正整数解，此等式两边同×a^2，
得a^4+a^2b^2=2（ac）^2 因为a、b是互质的奇数，又不能同时是平方数
所以，a^2b^2不是一个奇数的四次幂。故，丢番图方程a^4+b^4=2c^2 无正整数解。
再者，若a^2b^2是一个四次幂m^4，则，a、m就有公约数（为a的质因子），与题设矛盾。
同理有：
丢番图方程a^6+b^6=2c^2 无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数。
丢番图方程a^8+b^8=2c^2 无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数。
……………………………………………………………………………………
丢番图方程a^(2n)+b^(2n)=2c^2 无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数，n＞1。
3.        求证：丢番图方程a^4+b^4=2^(2n+1)c^2 无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
证明：已经证明丢番图方程a^2+b^2=2c^2 有正整数解，
把这个式子恒等变形，a^2+b^2=2[(2^n c)/2^n]^2 即a^2+b^2=2^(2n+1)（c/2^n）^2
因为c为奇数，所以c/2^n是既约分数，故上式无正整数解。
有a^2+b^2≠2^(2n+1)c^2………………………………………………（1）
（1）式两边同×a^2得   a^4+a^2b^2≠2^(2n+1)（ac）^2……………………（2）
无论a^2b^2是否为一个四次幂，（2）式仍然是一个不等式，所以，a^4+b^4=2^(2n+1)c^2无正整数解。
同理有：
a^6+b^6=2^(2n+1)c^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
a^8+b^8=2^(2n+1)c^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
……………………………………………………………………
a^(2n)+b^(2n)=2^(2n+1)c^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b，n＞1。
4.        求证：丢番图方程（2^na）^4+（2^nb）^4=2^(2n+1)（2^nc）^2 无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
证明：
已经证明丢番图方程a^4+b^4=2c^2无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数。
即a^4+b^4≠2c^2…………………………………………………………（1）
把（1）式两边同×2^(4n)得（2^na）^4+（2^nb）^4≠2^(2n+1)（2^nc）^2    证毕
同理有：
（2^na）^6+（2^nb）^6=2^(2n+1)（2^nc）^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
（2^na）^8+（2^nb）^8=2^(2n+1)（2^nc）^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
…………………………………………………………………………………………
（2^na）^(2n)+（2^nb）^(2n)=2^(2n+1)（2^nc）^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b，n＞1。
                                                  2022-12-6
注：
（一）        丢番图方程a^2+b^2=2c^2 有正整数解:
a=2（n+1）^2-1
b=2n^2-1
c=（n+1）^2+n^2
其中，n为任意正整数，a、b、c为互质的奇数，且a、b不同时是平方数；
（二）丢番图方程a^2+b^2=c^2有正整数解，其中，a、b、c为互质的正整数，
a=（m^2-n^2）/2
b=mn
c=（m^2+n^2）/2
其中，m、n为互质的奇数，m＞n

费尔马1

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