【答】已知非零实数 a,b,c 满足 a+ab=c ，b+bc=a ，c+ca=b ，求 (a,b,c) 的所有可能值

dodonaomikiki

2022巴西数学竞赛之方程题

非零实数\(a,b,c\)满足

\begin{cases}            a+ab=c     \\            b+bc=a            \\               c+ca=b         \end{cases}

求\(abc\)所有之可能值

uk702

(b+1)a = c，(c+1)b = a,  (a+1)c = b  => (a+1)(b+1)(c+1) = 1

展开 =》a + b + c + ab + bc + ac + abc  = 0

原式三式相加，得 ab + bc + ac = 0，∴ abc = -(a + b + c)

c*(式1)+a*(式2)+b*(式3) =》ac + ba + cb + 3abc = a^2 + b^2 + c^2   => 3abc = (a+b+c)^2

令 x = a+b+c， y = abc，于是有 y = -x， 3y = x^2
∴ y = abc = 3

dodonaomikiki

我接下来去尝试一哈
下面这个简单粗包的办法是否行得通



就是把第一个方程中的\(c=a+ab\)带入到第二个第三个方程里去