Primitive Pythagorean triples（本源勾股数）

yangchuanju

勾股数，
勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。为数学名词。
在OEIS网站中，称为“Primitive Pythagorean triples”，被百度翻译软件译为“原始毕达哥拉斯三角形”。
我们通常所说的勾、股在OEIS中称为short legs（短腿）和long legs（长腿）。

A103606给出3975个勾股数列表（合1325组勾股数），最大的一组是：5412,5635,7813；按a+b+c和（三角形周长）排序。
网页英文名——Primitive Pythagorean triples in nondecreasing order of perimeter, with each triple in increasing order, and if perimeters coincide then increasing order of the even members.
英译汉——原始毕达哥拉斯三元组按周长的非降序排列，每个三元组按升序排列，如果周长重合，则偶数成员的升序排列。
前部数据——3, 4, 5, 5, 12, 13, 8, 15, 17, 7, 24, 25, 20, 21, 29, 12, 35, 37, 9, 40, 41, 28, 45, 53, 11, 60, 61, 16, 63, 65, 33, 56, 65, 48, 55, 73, 13, 84, 85, 36, 77, 85, 39, 80, 89, 20, 99, 101, 65, 72, 97,……
下面的各个网页简介类似，不再一一标注。

A263728给出10000个勾股数列表，按勾（短腿a）排序。（最后一个数字不成组）
Primitive Pythagorean triples (a, b, c) in lexicographic order, with a < b < c.
按勾由小到大（字典）顺序排列的原始毕达哥拉斯三元组 (a, b, c)，其中 a < b < c。
3, 4, 5, 5, 12, 13, 7, 24, 25, 8, 15, 17, 9, 40, 41, 11, 60, 61, 12, 35, 37, 13, 84, 85, 15, 112, 113, 16, 63, 65, 17, 144, 145, 19, 180, 181, 20, 21, 29, 20, 99, 101, 21, 220, 221, 23, 264, 265, 24, 143, 145, 25, 312, 313, 27, 364, 365, 28, 45, 53,……

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A046086、A046087分别给出前10000组本源勾股数的a和b数值。
A046086
Smallest member 'a' of the primitive Pythagorean triples (a,b,c) ordered by increasing c, then b.
3, 5, 8, 7, 20, 12, 9, 28, 11, 33, 16, 48, 36, 13, 39, 65, 20, 60, 15, 44, 88, 24, 17, 51, 85, 119, 52, 19, 104, 57, 95, 28, 133, 84, 140, 21, 60, 105, 120, 32, 96, 23, 69, 115, 160, 161, 68, 207, 136, 25, 75, 204, 36, 175, 180, 225, 76, 27, 252, 152, 135, 189,……

A046087
Middle member 'b' of the primitive Pythagorean triples (a,b,c) ordered by increasing c, then b.
4, 12, 15, 24, 21, 35, 40, 45, 60, 56, 63, 55, 77, 84, 80, 72, 99, 91, 112, 117, 105, 143, 144, 140, 132, 120, 165, 180, 153, 176, 168, 195, 156, 187, 171, 220, 221, 208, 209, 255, 247, 264, 260, 252, 231, 240, 285, 224, 273, 312, 308, 253, 323, 288, 299, 272,……

A020882给出前10000个本源勾股数之弦（斜边）数值：
Ordered hypotenuses (with multiplicity) of primitive Pythagorean triangles.
原始毕达哥拉斯三角形的有序斜边（具有多重性）。
5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 65, 73, 85, 85, 89, 97, 101, 109, 113, 125, 137, 145, 145, 149, 157, 169, 173, 181, 185, 185, 193, 197, 205, 205, 221, 221, 229, 233, 241, 257, 265, 265, 269, 277, 281, 289, 293, 305, 305, 313, 317, 325, 325, 337, 349, 353, 365, 365,……

A008846则给出多达87881个弦（斜边）的数字，但仅有一组弦（斜边c）数字
Hypotenuses of primitive Pythagorean triangles.
本源勾股数之斜边（弦）
5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 73, 85, 89, 97, 101, 109, 113, 125, 137, 145, 149, 157, 169, 173, 181, 185, 193, 197, 205, 221, 229, 233, 241, 257, 265, 269, 277, 281, 289, 293, 305, 313, 317, 325, 337, 349, 353, 365, 373, 377, 389, 397, 401, 409, 421, 425, 433,……

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A101929给出弦（斜边c）小于10的17次方以内的勾股数组数
A101930给出弦（斜边c）小于等于10的17次方以内的勾股数组数
A101931给出弦（斜边c）小于10的21次方以内的本源勾股数组数
A101929        A101930        A101931
1 1        1 2        1 1
2 50        2 52        2 16
3 878        3 881        3 158
4 12467        4 12471        4 1593
5 161431        5 161436        5 15919
6 1980636        6 1980642        6 159139
7 23471468        7 23471475        7 1591579
8 271360645        8 271360653        8 15915492
9 3080075423        9 3080075432        9 159154994
10 34465432849        10 34465432859        10 1591549475
11 381301109908        11 381301109919        11 15915494180
12 4179478903380        12 4179478903392        12 159154943063
13 45459467009955        13 45459467009968        13 1591549430580
14 491241450001314        14 491241450001328        14 15915494309496
15 5278882299478781        15 5278882299478796        15 159154943089963
16 56453500988940599        16 56453500988940615        16 1591549430916326
17 601181789833245614        17 601181789833245631        17 15915494309190251
————————        ————————        18 159154943091887752
————————        ————————        19 1591549430918979115
————————        ————————        20 15915494309189480068
————————        ————————        21 159154943091895382361

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一组勾股数包含3个正整数，a<b<c，因为2的平方根不是整数，故勾股数再不会有a=b的情况。
但某一个特定的正整数，可能是不同勾股数组中的勾数、股数或弦数。

例：3只是勾股数（3,4,5）的一个勾数（短腿），但20则是两组勾股数(20,21,29)、(20,99,101)的勾数。

A132404给出在三元原始毕达哥拉斯数（本源勾股数）中短腿（short legs）A恰n次的最小短腿。
Smallest short legs 'A' of exactly n primitive Pythagorean triangles.
3, 20, 60, 204, 5040, 420, 660, 2040,……

1, (3,4,5)
2, (20,21,29), (20,99,101)
3, (60,91,109), (60,221,229), (60,899,901)
4, (204,253,325), (204,1147,1165), (204,2597,2605), (204,10403,10405)
5, (5040,78319,78481), (5040,99161,99289), (5040,129551,129649), (5040,253991,254041), (5040,6350399,6350401)
6, (420,851,949), (420,1189,1261), (420,1739,1789), (420,4891,4909), (420,11021,11029), (420,44099,44101)
7, (660,779,1021), (660,989,1189), (660,2989,3061), (660,4331,4381), (660,12091,12109), (660,27221,27229), (660,108899,108901)

另悉：a(11) = 872100, a(15) = 22440 and a(16) = 55440.
a(9), a(10), a(17), a(18), a(19) and a(20) are not less than（不小于） 6000000.

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A024359给出在1-10000个正整数中，能充当本源勾数（短腿）的数字和次数，如n=20,33,36可以是2组勾股数之勾数；n=60，105可以是3组勾股数之勾数：
Number of primitive Pythagorean triangles with short leg n.
0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 3, 2, 0, 2,……

A024360给出在1-10000个正整数中，能充当本源股数（长腿）的数字和次数：
Number of primitive Pythagorean triangles with long leg n.
0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0,……

A024361则给出在1-20000个正整数中，能充当本源勾数和股数（短腿和长腿）的数字和次数：
Number of primitive Pythagorean triangles with leg n.
0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 4, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 4,……

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A046079给出在1-10000个正整数中，能充当勾数和股数（短腿和长腿）的数字和次数，与A024361相比，数字和次数都增加很多：
Number of Pythagorean triangles with leg n.
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 1, 4, 4, 1, 1, 7, 2, 1, 3, 4, 1, 4, 1, 4, 4, 1, 4, 7, 1, 1, 4, 7, 1, 4, 1, 4, 7, 1, 1, 10, 2, 2, 4, 4, 1, 3, 4, 7, 4, 1, 1, 13, 1, 1, 7, 5, 4, 4, 1, 4, 4, 4, 1, 12, 1, 1, 7, 4, 4, 4, 1, 10, 4, 1, 1, 13, 4, 1, 4, 7, 1, 7, 4, 4, 4, 1, 4, 13, 1, 2, 7,……

A111284给出不能是本源勾股数的数字10000个：
这个序列也可以称为“非毕达哥拉斯整数”，因为不存在包含它们的原始毕达哥拉斯三角形 (PPT)。4n-2 形式的数字不能是 PPT [a,b,c] 的腿或斜边。这排除了当前序列的所有偶数成员。整数 1 和零被排除在外，因为它们形成角度 = 0 的“退化三角形”。
1, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74,&#160;78, 82, 86, 90, 94, 98, 102, 106, 110, 114, 118, 122, 126, 130, 134, 138, 142, 146, 150, 154, 158, 162, 166, 170, 174, 178, 182, 186, 190, 194, 198、202、206、210、214、218、222、226、230,……

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存在大量的弦与股相差1的勾股数，当勾等于3,5,7，……，2n+1时总能找到一组弦与股相差1的勾股数，
在勾股弦都不超过10000时，共有70组：
序        勾        股        弦
1        3        4        5
2        5        12        13
3        7        24        25
4        9        40        41
5        11        60        61
6        13        84        85
7        15        112        113
8        17        144        145
9        19        180        181
10        21        220        221
11        23        264        265
12        25        312        313
13        27        364        365
14        29        420        421
15        31        480        481
16        33        544        545
17        35        612        613
18        37        684        685
19        39        760        761
20        41        840        841
21        43        924        925
22        45        1012        1013
23        47        1104        1105
24        49        1200        1201
25        51        1300        1301
26        53        1404        1405
27        55        1512        1513
28        57        1624        1625
29        59        1740        1741
30        61        1860        1861
31        63        1984        1985
32        65        2112        2113
33        67        2244        2245
34        69        2380        2381
35        71        2520        2521
36        73        2664        2665
37        75        2812        2813
38        77        2964        2965
39        79        3120        3121
40        81        3280        3281
41        83        3444        3445
42        85        3612        3613
43        87        3784        3785
44        89        3960        3961
45        91        4140        4141
46        93        4324        4325
47        95        4512        4513
48        97        4704        4705
49        99        4900        4901
50        101        5100        5101
51        103        5304        5305
52        105        5512        5513
53        107        5724        5725
54        109        5940        5941
55        111        6160        6161
56        113        6384        6385
57        115        6612        6613
58        117        6844        6845
59        119        7080        7081
60        121        7320        7321
61        123        7564        7565
62        125        7812        7813
63        127        8064        8065
64        129        8320        8321
65        131        8580        8581
66        133        8844        8845
67        135        9112        9113
68        137        9384        9385
69        139        9660        9661
70        141        9940        9941
……

yangchuanju

股与弦相差2的勾股数：
序        勾        股        弦
0        4        3        5
1        6        8        10
2        8        15        17
3        10        24        26
4        12        35        37
5        14        48        50
6        16        63        65
7        18        80        82
8        20        99        101
9        22        120        122
10        24        143        145
11        26        168        170
12        28        195        197
13        30        224        226
14        32        255        257
15        34        288        290
16        36        323        325
17        38        360        362
18        40        399        401
19        42        440        442
20        44        483        485
21        46        528        530
22        48        575        577
23        50        624        626
24        52        675        677
25        54        728        730
26        56        783        785
27        58        840        842
28        60        899        901
29        62        960        962
……
严格地说，第0组数字不应算数。
序号为偶数的是本源（互素）勾股数，
序号为奇数的不是本源勾股数，含公约数2。

yangchuanju

股与弦相差3的勾股数：                       
序        勾        股        弦
1        9        12        15
2        15        36        39
3        21        72        75
4        27        120        123
5        33        180        183
6        39        252        255
7        45        336        339
8        51        432        435
9        57        540        543
10        63        660        663
11        69        792        795
12        75        936        939
……                       
都不是本源（互素）勾股数，皆含公约数3。     

yangchuanju

股与弦相差4的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中或含公约数2，或含公约数4；
股与弦相差5的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中都含公约数5；
股与弦相差6的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中或含公约数3，或含公约数6；
股与弦相差7的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中都含公约数7；
股与弦相差8的勾股数中既有本源勾股数，也有非本源勾股数，各组勾股数中的公约数分别是1,4,8；
股与弦相差9的勾股数中既有本源勾股数，也有非本源勾股数，各组勾股数中的公约数分别是1,9；
股与弦相差10的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中或含公约数5，或含公约数10；……