极其美妙的题目

费尔马1

极其美妙的题目
山东省兰陵县磨山镇华岩寺二村 程中战 2022-12-22
解函数丢番图方程：
X^3*X^(23^n)+Y^3*[Y^(23^n)]^2=Z^3
其中，常数n为正整数，X、Y、Z为未知数。
题目虽好，这仅是小学的题，甚至有的人认为是幼儿园的题啊！所以，此题也不值得老师解啊！

费尔马1

。。。。

yangchuanju

要找到几组A^3+B^3=Z^3不算太难，但又要求其中的A和B都是23次方数就难了，再要求A是23^n次方、B是（23^n）^2次方数的难度可像而知。
第2步是否有解？第3步有解的可能性极小。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-22 16:51
要找到几组A^3+B^3=Z^3不算太难，但又要求其中的A和B都是23次方数就难了，再要求A是23^n次方、B是（23^n）^ ...

解下面的函数不定方程：
X^3*X^(23^n)+Y^3*[Y^(23^n)]^2=Z^3可化为
A^(3+23^n)+B ^(3+2×23^n)=C^3
采用取底数法，取底数为2，
(3+23^n) (3+2×23^n) x+1=3y
解得，x=3k+1  y=[2×23^(2n) + 9×23^n +9]k + 3×23^n +3 +[2×23^(2n)+1] ／3
A=2^[(6×23^n+9)k+2×23^n+3]
B=2^[(3×23^n+9)k+23^n+3]
C=2^y=2^﹛[2×23^(2n) + 9×23^n +9]k +3×23^n +3 +[2×23^(2n)+1] ／3﹜
其中，n为正整数，k为自然数。

费尔马1

四楼的答案已经整体检验，检验结果是，答案是正确的！
请老师们复验，谢谢。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-23 16:08
解下面的函数不定方程：
X^3*X^(23^n)+Y^3*[Y^(23^n)]^2=Z^3可化为
A^(3+23^n)+B ^(3+2×23^n)=C^3

令n=0，方程变成
X^4+Y^5=Z^3
采用取底数法，取底数为2，
4*5x+1=3y
x=1,  y=7,  k=0
X=2^5=32
Y=2^4=16
Z=2^7=128
X^4=2^20
Y^5=2^20
Z^3=2^21
X^4+Y^5=Z^3

令n=1，方程变成
X^26+Y^49=Z^3
26*49*1+1=3y
x=1,  y=425,  k=0
X=2^49
Y=2^26
Z=2^y=2^425（错数377已改）
X^49=2^49^26=2^1274
Y^26=2^26^49=2^1274
Z^3=2^425^3=2^1275
X^26+Y^49=Z^3

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-1-22 16:51
要找到几组A^3+B^3=Z^3不算太难，但又要求其中的A和B都是23次方数就难了，再要求A是23^n次方、B是（23^n）^ ...

3楼说：要找到几组A^3+B^3=Z^3不算太难，但又要求其中的A和B都是23次方数就难了，再要求A是23^n次方、B是（23^n）^2次方数的难度可像而知。

程老师已经给出第3种方程的通解，但如果去掉23^n的二级指数2，请问老师还有正整数解吗？
即解函数丢番图方程：
X^3*X^(23^n)+Y^3*Y^(23^n)=Z^3

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-24 08:35
令n=0，方程变成
X^4+Y^5=Z^3
采用取底数法，取底数为2，

谢谢老师关注！
请问老师是检验了学生的答案吗？我解出来没有检验。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-24 08:35
令n=0，方程变成
X^4+Y^5=Z^3
采用取底数法，取底数为2，

更正如下，
令n=1，方程变成
X^26+Y^49=Z^3
26*49*1+1=3y
x=1,  y=425,  k=0
X=2^49
Y=2^26
Z=2^y=2^425
X^26=2^49^26=2^1274
Y^49=2^26^49=2^1274
Z^3=2^425^3=2^1275
X^26+Y^49=Z^3

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-24 08:35
令n=0，方程变成
X^4+Y^5=Z^3
采用取底数法，取底数为2，

解得，x=3k+1  y=[2×23^(2n) + 9×23^n +9]k + 3×23^n +3 +[2×23^(2n)+1] ／3
其中[2×23^(2n)+1] ／3，加上证明：
费马小定理的推论：a^[(p-1)n]≡1  （mod p），其中a与p互质。
那么[2×23^(2n)+1] ／3中，a=23  p=3
23^[(3-1)n]≡1 （mod 3），
[2×23^(2n)+1] ／3={23^[(3-1)n]/3}+{23^[(3-1)n]/3}+1/3=
=m+(1+1+1)/3=m+1=u
证毕