数论新篇，一字排成“继往开来”

费尔马1

数论新篇，一字排成“继往开来”
解函数不定方程：
（1）        A^(2n)+B^(2n+1)+C^(2n+2)=D^(2n+3)
（2）        A^2020+B^2021+C^2022=D^2023
（3）        A^(2n)+B^(2n+1)+C^(2n+2)=4D^(2n+3)
（4）        A^2020+B^2021+C^2022=4D^2023

费尔马1

（5）        A^(2n-1)+B^(2n)+C^(2n+1)=D^(2n+2)+E^(2n+3)
（6）        已知a与b互质，有数列：
a  a+b  a+b^2  a+b^3  a+b^4……  a+b^n      
可以根据这个数列出题，任意项和不定方程题目。

费尔马1

解不定方程
aA^2020+bB^2021+cC^2022=dD^2023

费尔马1

。。。。

yangchuanju

各个方程都不好解，从简到难，先解两个最简单的（费尔马1早期的解）：
解函数丢番图方程X^(2n+1)+Y^(2n+2)=Z^(4n+3)
其中一组通解公式为：
X=2^(8n^2+6n-4)
*uv
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+8n^2+6n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+16n+16]

Y=2^(8n^2+2n-3)
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+8n^2+2n+1]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+16n+8]

Z=2^(4n^2+2n-2)
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+4n^2+2n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+8n+6]
其中，n、u、v为正整数，k为0或正整数，u＞v

令n=1，则三指数为3,4,7
X的底数为2的指数等于（4*7*1+2）/3=10
Y的底数为2的指数等于7；
Z的底数为2的指数等于4；
X^3=2^30
Y^4=2^28
Z^7=2^28

令n=2，则三指数为5,6,11
X的底数为2的指数等于（6*11*3+2）/5=40
Y的底数为2的指数等于11*3=33；
Z的底数为2的指数等于6*3=18；
X^5=2^200
Y^6=2^198
Z^11=2^198

yangchuanju

解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)
其中一组通解公式为：
X=2^(8n^2+6n-4)
*a^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+11]
*b^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+9]
*c^[(16n^2+28n+12)k+16n^2+20n+4]
*uv
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+8n^2+6n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+16n+16]

Y=2^(8n^2+2n-3)
*a^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+6]
*b^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+4]
*c^[(16n^2+20n+6)k+16n^2+12n+2]
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+8n^2+2n+1]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+16n+8]

Z=2^(4n^2+2n-2)
*a^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+4]
*b^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+3]
*c^[(8n^2+12n+4)k+8n^2+8n+1]
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+4n^2+2n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+8n+6]
其中，n、u、v为正整数，k为0或正整数，u＞v

yangchuanju

【转载】三项和函数不定方程终于成功了！
例:解函数不定方程:
A^（2n+1）+B^（2n+2）+C^（2n+4）=D^（2n+3）
其中一个答案是:
A=3^[（4n^3+18n^2+26n+12）k－（2n^2+6n+4）]
B=3^[（4n^3+16n^2+19n+6）k－（2n^2+5n+2）]
C=3^[（4n^3+12n^2+11n+3）k－（2n^2+3n+1）]
D=3^[（4n^3+14n^2+14n+4）k－（2n^2+4n+1）]
其中，n、k为正整数。
                            于2022年春节

yangchuanju

【转载】四项和函数不定方程终于成功了！
例:解函数不定方程:
A^（2n+1）+B^（2n+2）+C^（2n+4）+D^（2n+5）=E^（2n+3）
其中一个答案是:
A=4^[（8n^4+56n^3+142n^2+154n+60）k+（4n^4+26n^3+60n^2+58n+20）]
B=4^[（8n^4+52n^3+118n^2+107n+30）k+（4n^4+24n^3+49n^2+39n+10）]
C=4^[（8n^4+44n^3+82n^2+61n+15）k+（4n^4+20n^3+33n^2+22n+5）]
D=4^[（8n^4+40n^3+70n^2+50n+12）k+（4n^4+18n^3+28n^2+18n+4）]
E=4^[（8n^4+48n^3+98n^2+78n+20）k+（4n^4+22n^3+40n^2+28n+7）]
其中，n为正整数，k为自然数。
                            于2022年春节

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-1-24 09:16
各个方程都不好解，从简到难，先解两个最简单的（费尔马1早期的解）：
解函数丢番图方程X^(2n+1)+Y^(2n+2) ...

解函数丢番图方程X^(2n+1)+Y^(2n+2)=Z^(4n+3)
变换一下费尔马1方程的通解条件，不考虑循环周期，将uv汇入底数2中：
其中一组通解公式为：
X=(2uv)^(8n^2+6n-4)
*[u^2-v^2]^[ 8n^2+6n]
*[u^2+v^2]^[16n+16]

Y=(2uv)^(8n^2+2n-3)
*[u^2-v^2]^[8n^2+2n+1]
*[u^2+v^2]^[16n+8]

Z=(2uv)^(4n^2+2n-2)
*[u^2-v^2]^[4n^2+2n]
*[u^2+v^2]^[8n+6]
其中，n、u、v为正整数，u＞v

令n=1，则
X=(2uv)^10*[u^2-v^2]^14*[u^2+v^2]^32
Y=(2uv)^7*[u^2-v^2]^11*[u^2+v^2]^24
Z=(2uv)^4*[u^2-v^2]^6*[u^2+v^2]^14

X^3=(2uv)^30*[u^2-v^2]^42*[u^2+v^2]^96=(2uv)^2*K
Y^4=(2uv)^28*[u^2-v^2]^44*[u^2+v^2]^96=[u^2-v^2]^2*K
Z^7=(2uv)^28*[u^2-v^2]^42*[u^2+v^2]^98=[u^2+v^2]^2*K
X^3+Y^4=Z^6

yangchuanju

解费尔马1的世界级函数不定方程：
变换一下费尔马1方程的通解条件，不考虑循环周期，将uv汇入底数2中：
A^（2147483648n+1）+B^（2147483648n+32769）=C^（2147483648n+65537）
其中一个通解公式是：
A=(2uv)^(4294967296n^2+196610n+2)
*[u^2-v^2]^[281466386776064n^2+12884770812n+131074]
*[u^2+v^2]^[4611404547745644544n^2+211097642532866n+2147450877]
B=(2uv)^(4294967296n^2+131074n)
*[u^2-v^2]^[281466386776064n^2+8589934588n+4]
*[u^2+v^2]^[4611404547745644544n^2+140733193256962n+65533]
C=(2uv)^(4294967296n^2+65538n)
*[u^2-v^2]^[281466386776064n^2+4295098364n+2]
*[u^2+v^2]^[4611404547745644544n^2+70368743981058n+32767]
其中，n、u、v为正整数，k为正整数或0，u大于v。

为便于检验，令n=0，则通解变成一个特解：
A=(2uv)^2
*[u^2-v^2]^131074
*[u^2+v^2]^2147450877
B=(2uv)^0
*[u^2-v^2]^4
*[u^2+v^2]^65533
C=(2uv)^0
*[u^2-v^2]^2
*[u^2+v^2]^32767
其中，n、u、v为正整数，k为正整数或0，u大于v。

A^1=(2uv)^2
*[u^2-v^2]^131074
*[u^2+v^2]^2147450877
B^32769=(2uv)^0
*[u^2-v^2]^131076
*[u^2+v^2]^2147450877
C^65537=(2uv)^0
*[u^2-v^2]^131074
*[u^2+v^2]^2147450879
令[u^2-v^2]^131074*[u^2+v^2]^2147450877=K
则A^1=(2uv)^2*K=4u^2*v^2*K
B^32769=[u^2-v^2]^2*K=[u^4-2u^2*v^2+v^4]*K
C^65537=[u^2+v^2]^2*K=[u^4+2u^2*v^2+v^4]*K
A^1+B^32769=C^65537

添加上n^2和n项，方程两边应该是相等的；
再添加上周期项，方程两边还是应该相等的。
费尔马原通解中的底数2的因子中没有周期部分，好似也可以添加一项循环周期，
只不过通解的结构更加复杂。

费尔马原始方程中有如下关系：
A^(2^31n+1)=2^2*u^(2^31n+1)*v^(2^31n+1)*K=4u^a*v^a
B^(2^31+2^15+1)=[u^(2^31+1)^2-v^(2^31+1)^2]^2*K=[u^a-v^a]^2*K=[u^2a+v^2a-2u^a*v^a]*K
C^(2^31+2^16+1)=[u^(2^31+1)^2+v^(2^31+1)^2]^2*K=[u^a+v^a]^2*K=[u^2a+v^2a+2u^a*v^a]*K
式中a=2^31=1，K=……（略）
三项中除去幂数相同的部分K因子后剩余部分是一组勾股数，原方程成立。