【转载】证明形式为Z^3=X^3+Y^3无整数解

yangchuanju

【转载】[原创]证明形式为Z^3=X^3+Y^3无整数解（XYZ≠0）
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技术员  发表于2012-9-19 21:25《基础数学》
设Z=X+Y,W=X-Y（Z,W,X,Y为自然数）
=>Z+W=2X,Z-W=2Y
=>Z^2-W^2=4XY
=>(Z^2-W^2)(Z-W)=8XY^2
=>Z^3-W^3=8XY^2+ZW(Z+W)=8XY^2+(X^2-Y^2)2X=2X^3+6XY^2
=>Z^3-W^3=A^3=2X^3+6XY^2,因为W≠0,X≠Y,A必不为整数。所以形式为Z^3-W^3=A^3无整数解，
而形式为Z^3=X^3+Y^3无整数解（XYZ≠0），得证。

只有X=Y时，A才可能是整数。不信，你举个反例来。

yangchuanju

【转载】方程X^2+Y^2+Z^2=W^2与X^3+Y^3+Z^3=W^3的解
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fmcjw    发表于 2016-3-29 02:41《基础数学》
1:
对于四元二次齐次方程x^2+y^2+z^2=w^2，我们完全可以像对方程x^2+y^2=z^2进行求解一样求出其解。它的通解式为：
              x=a+(ab+ad+bd)^1/2
  A={      y=b+(ab+ad+bd)^1/2
              z=d+(ab+ad+bd)^1/2
              w=a+b+d++(ab+ad+bd)^1/2
由解A即可求得方程x^2+y^2+z^2=w^2的正整数解为：
                        x=m
B={                  y=m+1
                        z=m^2+m
                       w=m^2+m+1
和
                       x=2m
B'={                y=2m
                       z=2m^2-1
                      w=2m^2+1
这就是说对于自然数m^2+m+1和2m^2+1，它们的二次幂均可分为三个自然数的二次幂之和。
所以方程x^2+y^2+z^2=w^2有无穷个正整数解。

2:
对于方程X^3+Y^3+Z^3=W^3又有无正整数解呢？经过求解后得出这个方程有正整数解为：
                          x=3m
   C={                 y=4m
                          z=5m
                         w=6m
这就是说对于形如6m（6m=6，12，18，24，、、、，）的自然数，它们的三次幂均可分为三个自然数的三次幂之和。

将此方程X^3+Y^3+Z^3=W^3与方程X^3+Y^3=Z^3比较说明边长为6的整数倍数的正方体均可分为三个正方体。但是，任意正整数为边长的正方体却一定不能分为两个正方体。

（乱码已删除，版式有改动，但文字不作改动）

yangchuanju

【转载】求证A^3+B^3=C^3无正整数解
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费尔马1  发表于 2022-3-30 08:38   《哥猜等难题和猜想》
已知，a^2+b^2=c^2
其中，a、b、c为正整数，且两两互质，a、b、c不全是立方数。
求证A^3+B^3=C^3无正整数解
证明:a^2+b^2=c^2
两边同乘以c得，ca^2+cb^2=c^3
因为a、b、c两两互质，所以，
若使ca^2是立方数，必有c、a同是立方数；
若使cb^2是立方数，必有c、b同是立方数，
也就是说，若使A^3+B^3=C^3
必有a、b、c同是立方数，这与已知相矛盾，
故，原命题成立。
特别地，若a^2+b^2≠c^2，其中，a、b、c为正整数，且两两互质，a、b、c不全是立方数。同样可以证明A^3+B^3≠C^3
同理可证费马大定理成立。

最一般的条件是，若a+b=c，其中，a、b、c为正整数，且两两互质，a、b、c不全是立方数。同样可以证明A^3+B^3≠C^3，证明从略。
最大限度可以达到A^3+B^3=C，
其中，C不是立方数
两边同乘以C^（3x）使3x+1=3y，显然这个方程无解。
故，A^3+B^3=C^3无正整数解（倍数解），
既然方程没有倍数解，也就没有本原解。
本原解，即A、B、C两两互质。

请问老师们，证明A^3+B^3=C^3只用下面的这一步能不能行啊？如果证明了A^3+B^3=C^3，同理可证费马大定理，是吗？
最大限度可以达到A^3+B^3=C，
其中，C不是立方数
两边同乘以C^（3x）使3x+1=3y，显然这个方程无解。
故，A^3+B^3=C^3无正整数解（倍数解），
既然方程没有倍数解，也就没有本原解。
本原解，即A、B、C两两互质。

yangchuanju

【转载】程中永的三次同幂三项和不定方程之通解式
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费尔马1  发表于 2021-3-12 09:41  《哥猜等难题与猜想》
程中永的三次同幂三项和不定方程之通解式:
①a^3+b^3+c^3=d^3
a=(2n)^2
b=8n^2-6n+3
c=8n^3-8n^2+6n-3
d=c+3
其中，n为正整数；
②a^3+b^3+c^3=d^3
a=(2n)^2
b=8n^2+6n+3
c=8n^3+8n^2+6n
d=c+3
其中，n为正整数。
类似地有，对应d=c+5，d=c+7，d=c+9，……d=c+k的通解式有无穷多，注，k可能是奇数？有待探讨。

类似地有，对应d=c+5，d=c+7，d=c+9，……d=c+k的通解式有无穷多，注，k可能是奇数？有待探讨。
是否k为偶数时也同样存在通解式呢？请老师们指点！
另外，本主题的通解式①②请老师们验证一下，谢谢！

仿照程中永的三次同幂三项和不定方程之通解式:
①a^3+b^3+c^3=d^3
a=(2n)^2
b=8n^2-6n+3
c=8n^3-8n^2+6n-3
d=c+3
其中，n为正整数；
请老师们解题:
a^3+b^3+c^3=d^3
a=xx
b=xxxxxx
c=xxxxxx
d=c+5
其中，n为正整数；
即求d=c+5的时候的通解式？