为什么《有限子集是闭集》

wufaxian

我的问题是：既然所有“极限点”都在子集内部的集合是闭集。而事实上“极限点”邻域内必有子集E的无限多个点(根据定理9.11)，那么在有限集E内部就没有极限点。那么他就不符合“闭集”的定义（定义 9.13）吧？所以推论9.15是不是错了？

<普林斯顿数学分析>P91
推论 9.15 (有限子集是闭集). 度量空间的有限子集是闭集．证明. 根据推论 9.12，有限集 E \(\subset\)X 没有极限点．因此，E 包含其所有极限点，所以 E 是闭集

推论 9.12 (有限集没有极限点). 度量空间的有限子集没有极限点．证明. 如果有限集 E \(\subset\) X 有一个极限点 p，那么由定理 9.11 可知，对于任意r > 0，Nr(p) 都将包含 E 中无穷多个点．那么 E 一定有无穷多个点，这显然是一个矛盾．


定义 9.13 (闭集).
如果度量空间的一个子集包含其所有极限点，那么该子集就是一个闭集．用符号来表示，即如果{p ∈ X | p 是 E 的极限点} \(\subset\) E，那么 E \(\subset\) X 就是一个闭集．

定理 9.11 (极限点的无限邻域).

设 E 是度量空间 X 的子集．如果 p 是 E 的极限点，那么对于任意 r > 0， N r (p) 包含 E 中无穷多个点．

elim

设 \(E\) 是有限集，\(E'\) 是其极限点全体，则\(E'=\varnothing\) 所以 \(E'\subset E\) 从而\(E\) 是闭集.

liangchuxu

记得，闭集的定义----该集合所有极限点都属于该集合，或该集合没有极限点。