邻域内是否有无限多点？

wufaxian

从第一种定义中看不出邻域中包含无限多点，但是从第二种定义中因为“ R" 中所有” 这几个字。因为R是无限集，因此邻域内必有无限多点。
那么邻域内究竟有没有无限多点呢？这两个定义哪个对？
这一点对这个视频12:24的证明非常关键。【实变函数-§2.2-聚点，内点，界点-矿大林燕-哔哩哔哩】 https://b23.tv/BLjKe5C


普林斯顿数学分析p88
定义 9.7 (邻域).

在度量空间 X 中，围绕点 p 且半径为 r > 0 的邻域 N r (p) 是 X 中与 p 的 距离小于 r 的所有点的集合． 用符号表示，即

N r (p) = { q ∈ X | d(p, q) < r } ．



《实变函数与泛函分析基础第四版》程其襄 p24
定义 1 和定点 P。之距离小于定数 δ>0 的点的全体，即集合 {P:d(P,\(P_{o }\)) <δ}称为点\(P_{o}\)之 δ邻域，并记为 U(\(P_{ o}\), δ). \(P_{o}\)称为邻域的中心， δ称为邻域的半径

liangchuxu

一个领域仅与定点位置和半径有关，与领域包含有限还是无限点无关。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2023-1-5 11:09
一个领域仅与定点位置和半径有关，与领域包含有限还是无限点无关。

我知道定义邻域只与未知和半径有关。但是作为一个延伸结论或者一个性质。邻域内是否包含无限多点？是否有确定结论？

wufaxian

liangchuxu 发表于 2023-1-5 11:09
一个领域仅与定点位置和半径有关，与领域包含有限还是无限点无关。

如果不讨论邻域内是否有无限多点。那么是否可以证明内点一定是聚点？

liangchuxu

wufaxian 发表于 2023-1-5 16:47
如果不讨论邻域内是否有无限多点。那么是否可以证明内点一定是聚点？

不太记得这些名词的概念。根据名词确切定义还是得出结论的。