0.999…＝1？

APB先生

当 9 的个数有限时，0.9……9 是开区间（0,1）的有限大小数；


当 9 的个数无限时，0.9……9 是开区间（0,1）的无限大小数；


1=0.9……9 绝对是错误的！！因为整数不等于小数；因为1-0.9……99=0.0……01>1；假如 0.0……01=0，会导致矛盾 1=0；因此0.0……01绝对大于 0。1=0.9……9 是整数等于小数的谎言。0.9……9 永远是小数，永远是 1 的不足近似值，永远不可能变为整数1；除非人为的作假，硬是把0.9……9写成1 。lim 0.9……9 =0.9……9 。


已有数学教科书绝对是有错误的，不可能永远都正确；1=0.9……9 就是其错误之一。

春风晚霞

       是的，“1=0.9……9 绝对是错误的！！因为整数不等于小数；因为1-0.9……99=0.0……01>1(?)”；但这个错误不是现行教材的错误，而是相当多的学者还没有摆脱有限的羁绊。请先生正确区分1=0.999…与1=0.999…9.前者表示等式右端小数点后有无穷多位，并且每个数位上的数字都是9，所谓无穷就是“没有穷尽，没有终了”之意(曹俊云语)，所以前者不存在末位数。后者表示等式右端小数点后只有限位小数，并且每个数位上的数字都是9。所以1=0.999…，但1≠0.999…9.
       “假如 0.0……01=0，会导致矛盾 1=0；因此0.0……01绝对大于 0；1=0.9……9 是整数等于小数的谎言”谁也不会否认0.0……01>0，谁都承认“1=0.9……9 是整数等于小数的谎言”，然而制造这个谎言的始作俑者，恰是不能正确区分0.999……和0.99……9的数学大师。是的，“0.9……9 永远是小数，永远是 1 的不足近似值，永远不可能变为整数1”；现行教科成也不会那么无聊，去“把0.9……9写成1 ”。现行教科成中“lim 0.9……9 =0.9……9 ”是正确的。因为有限位小数0.999…9是常数，而任何常数的极限都是它自身.所以lim 0.9……9 =0.9……9.
       也许已有数学教科书不可能永远都正确，但在现行教科书框架内1=0.999……却是永远正确的。

elim

\(0.00\ldots 01=10^{-n}>1,\;\;0.99\ldots 9=\displaystyle\small\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}=1-10^{-n}< 1\)
这些都是对的，因此 \(0.999\ldots=\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1\)也是正确的。

要否定 \(0.999\ldots=1,\) 就要对 \(0.999\ldots\) 及极限作另类的解读，这样
讨论就不在标准分析系统内了，既然谈论的不再是目前广泛使用的数系，在奇葩
数系中, 它们不等谁在乎？ 教科书没错：\(\small 0.999...=1.\)

任在深

elim 发表于 2023-1-9 14:07
\(0.00\ldots 01=10^{-n}>1,\;\;0.99\ldots 9=\displaystyle\small\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}=1-10^{-n}<  ...

扯蛋扯蛋，elim就是这么扯蛋起来的！

0.000000000000000000000000000001

                 啊？！他的蛋太多了！！

春风晚霞

APB先生，您能否先证明由1=0.999……“绝对会推出矛盾 1=0”，再来批判或证明“0.999……永远是叫小数，或是叫无限循环小数，无限大小数；永远不叫 1 ；在现行教科书框架内1=0.999……绝对永远是公开的无耻的人为的造假！！绝对是自相矛盾！！绝对是毫无道理的！！”APB先生，数学是讲理的科学，同时现行教科书框架内根本就没有“无穷大小数”、“无穷小小数”之说？你要批判“现行教科书框架内1=0.999……绝对永远是公开的无耻的人为的造假”，你就必须证明你的“无穷大小数”、“无穷小小数”的定义(或概念)不是造假，并且是自洽的(或说自圆其说的，不彼此矛盾的)定义(或概念)。

elim

jzkyllcjl 未交班就下班了，叫具有先行军礼再开吃特色的jzkyllcjl 吃狗屎的接班人任在深如何接班呢？

APB先生

春风晚霞 发表于 2023-1-9 20:57
APB先生，您能否先证明由1=0.999……“绝对会推出矛盾 1=0”，再来批判或证明“0.999……永远是叫小数，或 ...

春风晚霞教授，您好。

假设 1=0.999……。
因为 1=0.999……=0.9+0.09+……
                          =0.8999……+……=0.8+0.099……+……
                          =0.7999……+0.0899……+……=…………
                          =……
                          =0.1999……+……
                          =0.0999……+……
                          =……
                          =0+0+……
所以得到矛盾 1=0。因此假设 1=0.999…… 不能成立。这正是差之毫厘谬以千里。

是的，现行数学确实没有我提出的无穷小小数、无穷大小数，这是现行数学的巨大空白。

无穷小和无穷大是已有了数百年的数学名词；已有的无穷小和无穷大理应是指无穷小的数和无穷大的数；无穷小的数就包含无穷小小数、无穷小…小数、无穷小分数、无穷小正数、等等极多的数；无穷小小数具有巨大的原子能量；无穷大的数也是如此。

春风晚霞

APB先生 发表于 2023-1-12 18:25
春风晚霞教授，您好。

假设 1=0.999……。

APB先生:
       你所给出的证明，与谢芝灵先生于2022年4月7日16:25，在《非数的定义： 如果元素δ和任何元素ε不能满足δε，则δ为非数》中，对命题:“对等式1=0.999…无限次施行1=0.999…变换，结果是1=0，或1=lim0”的证明完全一致。春风晚霞认为这种\(\mathsf{不完全规纳法}\)，和完全归纳法相比，相当于只做了完全归纳(\(\mathsf{奠基、归纳假设、递推归纳}\))的奠基这一步，所以结论是错误的。下面给出春风晚霞与谢芝灵商榷时的完整证明供先生参考
证明:      起步1=0.9999…;   笫一步:\(\quad\)0.999…=0.9+0.0999…(等式的恒等变形)
笫二步[(0.8+0.0999…)+0.0999…]=0.8+2\(\times\)0.0999…笫三步(0.7+0.0999…)+2\(\times\)0.0999…=0.7+3\(\times\)0.0999…
…………
第十步:0.1+9\(\times\)0.0999…=(0+0.0999…)+9\(\times\)0.0999…=10\(\times\)0.099…=0.999…
\(\qquad\)\(\qquad\)\(\mathbf{春风晚霞将逐步施行1=0.999…变换及结果列表如下}\)
\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline 步骤& \qquad\quad变换对象& \qquad\quad变换结果&是否改变论题\\
\hline 原命题& 1=0.999…& 1=0.999…&不改变\\
\hline 笫一步&0.999…& 0.9+1\times0.0999…&不改变\\
\hline 笫二步&0.9+1\times0.0999…&0.8+2\times0.0999…&  不改变\\
\hline 笫三步&0.8+2\times0.0999…&0.7+3\times0.0999…&不改变\\
\hline 笫四步&0.7+3\times0.0999…&0.6+4\times0.0999…& 不改变\\
\hline 笫五步& 0.6+4\times0.0999…&0.5+5\times0.0999…& 不改变\\
\hline 笫六步& 0.5+5\times0.0999…&0.4+6\times0.0999…& 不改变\\
\hline 笫七步& 0.4+6\times0.0999…&0.3+7\times0.0999…& 不改变\\
\hline 笫八步& 0.3+7\times0.0999…&0.2+8\times0.0999…&不改变\\
\hline 笫九步&0.2+8\times0.0999…&0.1+9\times0.0999…&不改变\\
\hline 笫十步&0.1+9\times0.0999…&0.0+10\times0.0999…&不改变\\
\hline  结果&1=0.999…&1=0.999…&不改变\\
\hline \end{array}
       当然，如果我们欲对1=0.999…第i位施行1=0.999…变换，可对1=0.999…作恒等变换\(\frac{10^i}{10^i}\)\(\times\)1=\(\frac{10^i}{10^i}\)\(\times\)0.999…=\(\frac{\overbrace{999…9}^{(i-1)个9}.999…}{10^i}\)，然后对分子中的0.9施行十步1=0.999…变换，所得最终结果仍是1=0.999…。由i的任意性知对所有数位上的9实施1=0.999…变换后仍是1=0.999….，所以命题“对等式1=0.999…无限次施行1=0.999…变换，结果是1=0，或1=lim0”是假命题。

elim

讨论 \(0.999\ldots\) 的首要任务是给出 \(0.999\ldots\) 的定义。说 \(0.999\ldots\ne 1\)的人都没给出 \(0.999\ldots\) 的定义. 更没给出一般的无尽小数定义。

Nicolas2050

但凡接受了理工高等教育的人，也没如此的勇气质疑这个问题。民科最喜欢这一类问题。