0.999…＝1？

APB先生

春风晚霞 发表于 2023-2-2 06:26
APB先生:
       春风晚霞再次郑重的告诉您，我 18 楼的证明是绝对证确的。您下面用不完全归纳法证明 ...

春风晚霞教授：
       您 18 楼的证明是绝对错误的 ！！理由如下：
       因为您用 1=0.999…… 变换，从1+ 0.999…… 推出 1+ 0.999…… ，是数学垃圾！因为您所谓不改变的 10 步都是错误的，都是要改变的！下面以您的第 10 步 0.999……=0.0+10×0.0999…… 为例，再次说明您的错误：

       因为  0.99>0.0+10×0.09=0.9
                0.999>0.0+10×0.099=0.99
                0.9999>0.0+10×0.0999=0.999
                 …………
       所以  0.999……>0.0+10×0.0999……>……>0.999>0.99>0.9。   

       您若能用正确的数理逻辑，从 1 推出 0.999……，或者从 0.999…… 推出 1 ，那才能证明 1=0.999…… 成立；遗憾的是，我可断言：您和任何人，包括第一个写出  1=0.999…… 的人，包括《实变函数论》的作者，全部都不能推出、也不可能推出。

春风晚霞

APB先生 发表于 2023-2-3 18:29
春风晚霞教授：
       您 18 楼的证明是绝对错误的 ！！理由如下：
       因为您用 1=0.999…… 变 ...

APB先生:
       我18 楼的证明是绝对正确的 ！！您的【因为您(指春风晚霞)用 1=0.999…… 变换，从1+ 0.999…… 推出 1+ 0.999…… ，是数学垃圾！】只不过这个拉圾是您不讲数学道义地恶意栽脏。我18楼的证明过程中，何时何处有过“用 1=0.999…… 变换，从1+ 0.999…… 推出 1+ 0.999…… ”？【因为您所谓不改变的 10 步都是错误的，都是要改变的！下面以您的第 10 步 0.999……=0.0+10×0.0999…… 为例】，如果先生还讲数学道义的话，0.0+10×0.0999…=0.999…这个等号是成立的，根本就不存在什么所谓的“垃圾”！
       很对不起APB先生，您的推导【因为0.99>0.0+10×0.09=0.9；0.999>0.0+10×0.099=0.99；0.9999>0.0+10×0.0999=0.999，…所以0.999……>0.0+10×0.0999……>……>0.999>0.99>0.9】中的“因为”与“所以”之间没有必然联系，即您的“因为”只证明了您能在有限时间里饮尽您杯中的香茗(有限)，而您的“所以”则是要求您证明您在有限时间内喝干太平洋中的海水(无限)，我不知您“正确的逻辑”又是什么？并且“0.999……>0.0+10×0.0999…”更是荒唐！先生您能说明“0.999……>10×0.0999…”正确的数理逻辑依据吗？小学生都知道把一个小数扩大10倍，等于把这个小数的小数点向右移动一位，我不知先生为什么会有“0.999…>10×0.0999…”的说法？APB先生，学术论辩时为了面子争强斗狠固然重要，但基本的数理逻辑还是应该遵守的嘛！
       我曾经说过〖数学中证明1=0.999…的方法，初等的、高等的不少于10种，而证明1>0.999…永远只有1>0.9，1>0.99，1>0.999，…，1>0.999…9，所以1>0.999…一法”〗，APB先生，您凭哪条“正确的逻辑”保证您在有限范围内的不完全归纳在无限范围内也成立？
       先生认为【我可断言：您和任何人，包括第一个写出1=0.999…… 的人，包括《实变函数论》的作者，全部都不能推出、也不可能推出(1=0.999…)】？唐人韩愈在《原道》一书中讲道：“坐井而观天，曰天小者，非天小也。”APB先生您的断言太草率了吧？下面给出几个简单证明，【注意】：证明中的题设条件是无限循环小数\(0.\dot 9\)，其它的各种非\(0.\dot 9\)的设定，都非命题的题设条件。
       1、用反证法证明0.999…=1(也就是1=0.999…)
       证明(反证法)：假设无限循环小数0.999……<1，则存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立，由c>0.999……，于是根据逐位比较法：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故假设不成立。所以无限循环小数0.999……=1,亦即1=0.999…。
       2、用康托尔实数定义证明1=0.9999…
       证明:因为基本有理数列｛0.9，0.99，0.999，…，\(\small 0.\overbrace{99…9}^{n个9}\)，……｝；｛1，1，1，…，1，……｝；｛1.1，1.01，1.001，…，\(\small 1.\overbrace{00…0}^{(n-1)个0}1\)，……｝是三个等价的基本有理数列。于是，根据康托尔实数定义，等价的基本有理数列表示同一个实数. 所以1=0.999…。
       3、用威尔斯特拉斯极限定义证明1=0.999….
       证明:根据您“无穷小小数”的定义，设1-0.999…=α(α为先生的“无穷小小数”)，所以在威尔斯特拉斯极限的ε—N定义中，令ε=\(\frac{α}{2}\)，则存在N=\(\frac{1}{ε}=\frac{2}{α}\)，当n>N时恒有| 1-0.999… |<ε成立。由于在所有的无穷小量中，只有0<ε<α，所以| 1-0.999… |=0，所以1=0.9999….
       4、根据确界定理证明1=0.999…
       证明:设S=｛0.9，0.99，0.999，…，\(\small 0.\overbrace{99…9}^{n个9}\)，……｝，因为对任给ε＞0，存在x∈S，使得x＞1-ε，所以1＝sumpS(即1是集合S的上确界)，所以1=0.999…(确界定理)
       5、根据两实数相等的定义，证明1=0.999…
       证明:因为康托尔基本数列{\(a_n\)}=｛0.9，0.99，0.999，…，\(\small 0.\overbrace{99…9}^{n个9}\)，…｝、{\(b_n\)}={1，1，1，…，1，…}，所以对任给ε＞0，存在n∈N，使得当n>N时，恒有| 1-0.999… |<ε，所以1=0.999…(两实数相等的定义).
……
       当然，证明1=0.999…的方法还不止这些，不过有了这些证明足已说明您的断言过于草率。“杠精”数学家们总是把他们不知道的、不理解的、不懂得东西都说成是别人的错误，是垃圾，这也是“杠精”数学家的共性，也不知APB先生认为“杠精”之识是美德还是陋习？

elim

设 \(x=0.999\ldots,\) 两边乘以\(10\)得 \(10x=9.999\ldots=9+x\),
两边减去\(x\)得\(9x=9\), 两边除以\(9\)得\(x = 1\)即\(0.999\ldots = 1.\)

推论：\({\small\dfrac{1}{3}}=0.333\ldots\)

道理其实很简单. 供楼主和 APB 先生参考。

jzkyllcjl

春风晚霞；虽然你说的【基本有理数列｛0.9，0.99，0.999，…，

，……｝；｛1，1，1，…，1，……｝；｛1.1，1.01，1.001，…，

，……｝就是三个等价的基本有理数列。】不错，但这几个基本数列都是无穷数列，其中第一个、第三个都是 随着位数增加而变大的变数，这三个 数列的极限才是共同的实数1. 康托尔与你都把变数与定数的概念搞混淆了。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2023-2-4 16:24
春风晚霞；虽然你说的【基本有理数列｛0.9，0.99，0.999，…，

，……｝；｛1，1，1，…，1，……｝；｛ ...

曹老头:
       并非康托尔和我都把变数与定数的概念搞混淆了，而是康托基本有理数列定义中根本就没有定数变数之说！其实在所有康托尔基本有理数列中，除常数列外，一般都具有\(a_n\)≠\(a_{n+1}\)，你不觉得你以此否定1=0.999……太荒唐了吗？你应该知道在极限的ε—N定义中极限是可达的。所以，只要【这三个 数列的极限才是共同的实数1】，就立即可得1=0.999…。

APB先生

春风晚霞 发表于 2023-2-4 05:45
APB先生:
       我18 楼的证明是绝对正确的 ！！您的【因为您(指春风晚霞)用 1=0.999…… 变换，从1+ 0 ...

春风晚霞：
       以后我不再与你交流，也不看你的帖子，因为你很虚伪！不可信！

春风晚霞

很好，我从来就没有想过和你交流。不接受你的观点就叫虚伪，这样的虚伪是值得的。可信也罢，不可信也罢。维护现行的实数理论，我尽心尽力即可！！

elim

我发现APB先生的‘数学’与现行数学没有交集．互懟，争执无益．大家高兴就好，

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2023-2-4 08:30
曹老头:
       并非康托尔和我都把变数与定数的概念搞混淆了，而是康托基本有理数列定义中根本就没有定 ...

春风晚霞：你说的基本数列 0.9，0.99，0.999，……是定义在自然数集合N上的函数 y=f(n), 这个函数性变数才是你说的基本数列 0.9，0.99，0.999，……，他不是常数数列1，1，1，1，……；变数不等于定数。，

elim

jzkyllcjl 发表于 2023-2-4 18:46
春风晚霞：你说的基本数列 0.9，0.99，0.999，……是定义在自然数集合N上的函数 y=f(n), 这个函数性变数 ...

吃狗屎的jzkyllcjl 的自然数集永远完不成，哪里来的序列？