【答】求函数 f(x,y,z)=xyz 在圆周 x+y+z=0 ，x^2+y^2+z^2=1 上的最大值和最小值

dodonaomikiki

2023吉林大学研究生考试-1，能否用拉格朗日法？

请看题目

luyuanhong

dodonaomikiki

根据陆老师的解答，
给出球体之示意图，
还有两点的大致位置

dodonaomikiki

      \(      Set:  z=-x-y                               \)
      \(      \Longrightarrow    \Phi=xyz+\lambda( x^2+y^2+z^2-1  )                 \)
      \(      =xy(-x-y)+\lambda( x^2+y^2+ x^2+2xy+y^2-1   )                 \)
      \(      =-x ^2y-xy ^2  +\lambda( 2x^2+2y^2+2xy-1   )                 \)


\begin{align*}
    \Longrightarrow

\frac{\partial   \Phi}{ \partial    x  }&=-2xy-y^2+\lambda( 4x+2y)=0......(1)\\

\frac{\partial    \Phi}{ \partial    y  }&=-x^2-2xy+\lambda( 4y+2x)=0......(2)\\

\frac{\partial   \Phi}{ \partial    \lambda  }&=2x^2+2y^2+2xy-1=0......(3)\\
\end{align*}


      \(      (3)\Longrightarrow   2xy=1- 2x^2-2y^2                  \)
代入......(1) ......(2)
      \(      \Longrightarrow    (1+3xy）(x-y)=0                 \)
  \(      x=y   \)这个解答，
陆老师已经解惑！
      \(      \Longrightarrow    当xy=\frac{-1}{3}                \)
代入......(3)
      \(      \Longrightarrow    18x^4-15x^2+2=0                 \)
      \(      \Longrightarrow                    \) 两组解
      \(      （A）  x=\frac{ \sqrt{6}  }{3},y=, \frac{ -\sqrt{6}  }{6},  z=\frac{- \sqrt{6}  }{6}                 \)
      \(      (B)  x=\frac{ -\sqrt{6}  }{3},y=, \frac{ \sqrt{6}  }{6},  z=\frac{ \sqrt{6}  }{6}                 \)
至此，结果已不重要！【当然，也是不言而喻】
却可见，轮换对称性

dodonaomikiki

今朝看到的答案，本质精神其实一模一样~~~
具体做法，稍显不同，
因为她建构了五个方程，显得有点庞杂而不实用

波斯猫猫

题：求函数 f(x,y,z)=xyz 在圆周 x+y+z=0 ，x^2+y^2+z^2=1 上的最大值和最小值。

思路：由x^2+y^2+z^2=1，可设x=cosθsinα，y=sinθsinα，z=cosα，将此代入

x+y+z=0， 整理，易得sin2θ=cos2α/(sinα)^2，故，f(x,y,z)=xyz =cos2αcosα/2。

由f′=0，易得sinα[6(cosα)^2-1]=0。解得sinα=0，cosα=±√6/6。

当sinα=0时，cosα=1或cosα=-1，且x=y=0，z=±1，与x+y+z=0 矛盾。

当cosα=±√6/6时，f(x,y,z)=f(α)=cos2αcosα/2=cosα[2(cosα)^2-1]/2

=±√6/6[2/6-1]/2=±√6/18。即fmax=√6/18，fmin=-√6/18。

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2023-2-3 21:28
题：求函数 f(x,y,z)=xyz 在圆周 x+y+z=0 ，x^2+y^2+z^2=1 上的最大值和最小值。

思路：由x^2+y^2+z^2=1 ...

本思路是在低观点下，把题目看成是求条件最值。

dodonaomikiki

\(求函数 f(x,y,z)=xyz 在圆周 x+y+z=0 ，x^2+y^2+z^2=1 上的最大值和最小值。\)

\(思路：由x^2+y^2+z^2=1，可设x=cosθsinα，y=sinθsinα，z=cosα，\)
将此代入

\(x+y+z=0， 整理，易得sin2θ=cos2α/sin^2α，故，f(x,y,z)=xyz =cos2αcosα/2。\)

\(由f′=0，易得sinα(6  \bullet    cos^2α-1)=0。\)
\(解得sinα=0，cosα=±√6/6。\)

\(当sinα=0时，cosα=1或cosα=-1，且x=y=0，z=±1，与x+y+z=0 矛盾。\)

\(当cosα=±√6/6时，f(x,y,z)=f(α)=cos2αcosα/2=cosα(2cos^2α-1)/2\)

\(=±√6/6(2/6-1)/2=±√6/18。即fmax=√6/18，fmin=-√6/18\)