先看费马大定理的3次幂

费尔马1

令a^3+b^3=m^k
其中，k不等于3的倍数
两边同×m^(3x)
需有3x+k=3y，此不定方程无正整数解，
所以a^3+b^3=c^3就无正整数解。
同理a^n+b^n=c^n就无正整数解。n大于2

yangchuanju

令a^3+b^3=m^k  其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程应该有正整数解；如果k=3则无解。（k=4,5,6，……暂不讨论。）

a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)，若右端是一个立方数，则必须有a^2-ab+b^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，3ab=0,  ab=0；
当a和b都不等于0时，ab≠0，a^2-ab+b^2不是平方数，(a+b)*(a^2-ab+b^2)不是立方数，故a^3+b^3=c^3无正整数解。
费马定理能不能用上述方法证明？

yangchuanju

令a^3+b^3=m^k  其中，k不等于3的倍数；两边同×m^(3x)

右端=m^(3x+k)，左端=a^3*m^(3x)+b^3*m^(3x)；右端指数是3x+k，请问老师左端指数3y中的y等于什么？

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-14 17:40
令a^3+b^3=m^k  其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程应该有正整数解；如果k=3则无解。（k=4,5,6，…… ...

令a^3+b^3=m^k  其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程肯定没有正整数解；您看看，3t+1不是3的倍数，
3t+2不是3的倍数，3t+3是3的倍数，

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-14 17:40
令a^3+b^3=m^k  其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程应该有正整数解；如果k=3则无解。（k=4,5,6，…… ...

a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)，若右端是一个立方数，则必须有a^2-ab+b^2=m^3，a+b=n^3然后解这个方程组，判断解的情况？

费尔马1

求证，a^3+b^3=c^3无正整数解
令a^3+b^3=m^k，在这里，只能假设其等于m^k，
而不能假设其等于m^3，因为我们就是去证明原式等于一个立方数的。
其中，k不等于3的倍数
两边同×m^(3x)
需有3x+k=3y，此不定方程无正整数解，
所以a^3+b^3=c^3就无正整数解。
同理a^n+b^n=c^n就无正整数解。n大于2

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-14 17:49
令a^3+b^3=m^k  其中，k不等于3的倍数；两边同×m^(3x)

右端=m^(3x+k)，左端=a^3*m^(3x)+b^3*m^(3x)；右 ...

a^3+b^3=m^k
左端=a^3*m^(3x)+b^3*m^(3x)
右端=m^(3x+k)=m^(3y)=(m^y)^3
但是，这是不可能的，因为那个不定方程无解。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-14 17:53
令a^3+b^3=m^k  其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程肯定没有正整数解；您看看，3t+1不是3的倍数，
...

令a^3+b^3=m^k  如果k=1或2，方程应该有正整数解：
当a，b，m都是正整数时，a^3和b^3都是正整数，相加之和还是正整数；
对于a^3+b^3=m有无穷多组解；
对于a^3+b^3=m^2也是有正整数解的，其中a=1，b=2，1^3+2^3=9=3^2就是a^3+b^3=m^2的一组最小正整数解。

王守恩

\(\ \ \ \ \ \ 若\ \ \ \ \ a^3+b^3=m\ \ \ 有解\)
\(\ \ (a*m)^3+(b*m)^3=m^4\ \ \ 成立\)
\((a*m^2)^3+(b*m^2)^3=m^7\ \ 成立\)
\((a*m^3)^3+(b*m^3)^3=m^{10}\ \ 成立\)
\((a*m^4)^3+(b*m^4)^3=m^{13}\ \ 成立\)
\((a*m^5)^3+(b*m^5)^3=m^{16}\ \ 成立\)
\((a*m^6)^3+(b*m^6)^3=m^{19}\ \ 成立\)

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-14 18:57
令a^3+b^3=m^k  如果k=1或2，方程应该有正整数解：
当a，b，m都是正整数时，a^3和b^3都是正整数，相加之 ...

需有3x+k=3y，此不定方程无正整数解，
我是说k=1，2时，方程3x+k=3y，无解