在 ΔABC 和 ΔBCD 中，∠CAB=40°，∠CBD=30°，AB=BD，∠ACB+∠CBD=180°，求 ∠ABC

雪儿2023

求大神帮忙解题！！！

yeyucaiji

对于三角形CBD，\(\frac{CB}{\sin30\circ}=\frac{DB}{\sin\angle DCB}\),对于三角形CBA，\(\frac{CB}{\sin40\circ}=\frac{AC}{\sin\angle ABC}\),\(\frac{CB}{\sin40\circ}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}=\frac{BD}{\sin\angle CBD}\),\(\therefore\frac{\sin40\circ}{\sin30\circ}=\frac{\sin\angle CBD}{\sin\angle DCB}\),sin40用三倍角公式可得到，接下来可以得到三角形CBD的三个内角了。角度sin之比就是边长之比，就知道CB与CD关系，即CB与AB关系。CB对应角40，就知道AB对应角ACB，就知道ABC了

yeyucaiji

这道题肯定是可以用几何法做的，难度是初中水准
贴主这个是补习班的作业吧，还是要靠自己

王守恩

\(记∠ABC=\theta\)

\(1,\frac{AB}{\sin(140-\theta)}=\frac{BC}{\sin(40)}\Rightarrow BC=\frac{AB\sin(40)}{\sin(140-\theta)}\)

\(2,\frac{BD}{\sin(110-\theta)}=\frac{BC}{\sin(30)}\Rightarrow BC=\frac{BD\sin(30)}{\sin(110-\theta)}\)

\(3,\frac{\sin(40)}{\sin(140-\theta)}=\frac{\sin(30)}{\sin(110-\theta)}\Rightarrow \sin(140-\theta)=2\sin(40)\sin(110-\theta)\)

\(4,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (瞪眼法!!!)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sin(80)=2\sin(40)\sin(50)\Rightarrow\theta=60^\circ\)

雪儿2023

yeyucaiji 发表于 2023-1-15 12:00
这道题肯定是可以用几何法做的，难度是初中水准
贴主这个是补习班的作业吧，还是要靠自己

是初中题目，有初中解题的方法或者步骤吗，两个边长相等不知道怎么用，辅助线不知道怎么加。

tmduser

几何解法供参考

luyuanhong

楼上 tmduser 的解答很好！已收藏。

tmduser

tmduser 发表于 2023-1-28 21:42
几何解法供参考

由于∠ECB可能为直角或钝角，E点存在性存疑，
辅助线可改为构造等腰梯形ACBF，逻辑上严谨些。