已知………………求解…………

lusishun

已知：3^3+4^3+5^3=6^3，
我想：X^3+Y^6+Z^15=W^21一定有正整数解。
（我也还没有来的及做，我感觉理论上是一定有解）

lusishun

先求X^3+Y^3+Z^3=W^2的一组解吧。

lusishun

设a^3+b^3+c^3=m
两边同乘以m^3，
则，（am）^3+（bm）^3+（cm）^3=（m^2）^2，
所以：
X=a（a^3+b^3+c^3），
Y=b（a^3+b^3+c^3）
Z=c（a^3+b^3+c^3）
W=（a^3+b^3+c^3）^2

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-16 05:08
设a^3+b^3+c^3=m
两边同乘以m^3，
则，（am）^3+（bm）^3+（cm）^3=（m^2）^2，

取a=1，b=2，c=3，
得， m=36，
代入，36^3+72^3+108^3=（36^2）^2，
X=36，Y=72，Z=108，W=1296.

wlc1

难道 程颐、程颢、鲁班、杨辉、王羲之是搞丢番图方程的四大天王？？？？

lusishun

再求一个方程：
X^3+Y^3+Z^3=W^7
的一组整数解.


（改了一个数字，把21改为7，因为21是3的倍数，凑不出来）

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-16 06:39
再求一个方程：
X^3+Y^3+Z^3=W^7
的一组整数解.

解：
设a^3+b^3+c^3=m，
两边同乘以m^6.
得：X=a（a^3+b^3+c^3）^2，
         Y=b（……m……）^2
           Z=c（………没……）^2。

取a=b= c=1，则m=3，
则X=Y=Z=3^2，
9^3+9^3+9^3=3^6+3^6+3^6=（1+1+1）·3^6=3^7.

费尔马1

wlc1 发表于 2023-1-16 14:14
难道 程颐、程颢、鲁班、杨辉、王羲之是搞丢番图方程的四大天王？？？？

有程门立雪这个成语。哈哈

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-16 09:29
解：
设a^3+b^3+c^3=m，
两边同乘以m^6.

接7楼
取a=4，b=2，c=3，
则m=99、X=4·99 ^2，   Y=2·99^2，Z=3·99^2.

验算：（4·99^2）^3+（2·99^2）^3+（3·99^2）^3
           =（64+8+27）·99^6=99^7.
      

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-1-16 12:58
先求X^3+Y^3+Z^3=W^2的一组解吧。

在 1756-1757 年，Euler  给出
A^3+B^3=C^2
的一个单参数解
其中A=3n^3+6n^2-n
B=-3n^3+6n^2+n
C=6n^2*(3n^2+1)
任意给定一个正整数n即得一组ABC。