整系数多项式函数\(f(z)=\)\(z^n+a_{n-1}z^{n-1}+…+a_1z+a_0\)分解的唯...

春风晚霞

金先生：
       这里有几道选自北京大学《高等代数》的补充习题，与先生分享，但求共勉。
       1、 设\(f(x)=\)\(x^5\)\(-18x^4\)\( +118x^3 \)\(-348x^2\)\(+457x -210\)，求方程\(f(x)=0\)的解集.
       2、设整系数多项式函数\(f(z)\)=\(z^{12}\)  - \(4 z^{10}\) - \(16z^8\) + \(56z^6\) + \(32 z^4\) + \(128 z^2 - 512 \)，求\(f(z)\)在复数域上的因式分解，并求\(f(z)=0\)的解集.
       3、求有理a、b，使下述多项式有重因式，并求出重因式及其重数：\(x^4\)+\(ax^3\)+\((a-b)x^2\)+\(bx+1\).

金瑞生

春风晚霞 发表于 2023-1-27 22:21
金先生：
       这里有几道选自北京大学《高等代数》的补充习题，与先生分享，但求共勉。
       1、 设 ...

春风晚霞先生：您好！
        每个人的兴趣爱好真的不一样，技巧性的题目对我来说，毕竟大学毕业数十载又不从事教育工作，已经十分生疏了。我专注于一般整式代数方程统一解法的纯理论研究，从不关注具体方程解的技巧性，只讲一般性。所以先生给我的几个题目，虽然在整式代数方程统一解法的理论范畴内，但它更强调技巧性，我实在不敢在先生面前班门弄斧。请见谅！
        这几个题目选自北大《高等代数》的补充习题？当年我们用的也是北大《高等代数》。

春风晚霞

       是的，这几个题选至北大王萼芳著《高等代数题解》，北京大学出版社1983年版补充题。既然先生对这样的习题不感性趣，那我明天还是给出我的解答。王萼芳先生好些题都只给提示，不给详细解答。我之解答，还望先生赐教。

金瑞生

春风晚霞 发表于 2023-1-28 21:54
是的，这几个题选至北大王萼芳著《高等代数题解》，北京大学出版社1983年版补充题。既然先生对这样 ...

        难怪了，在我的记忆中好像没见过这几个题目，因为那时我已经毕业参加工作了。对先生给出的解答，明天晚上我一定欣赏，只求自己还有那个鉴赏的能力。

春风晚霞

解下列各题

1、 设\(\small f(x)=x^5-18x^4 +118x^3 -348x^2+457x -210\)，求方程\(\small f(x)=0\)解集.

      解：根据艾森施坦(Eisensrein)判别法:
       因为210=1\(\small\times\)2\(\small\times\)3\(\small\times\)5\(\small\times\)7.  且\(\small f(1)\)=\(\small f(2)\)=\(\small f(3)\)=\(\small f(5)\)=\(\small f(7)=0\).
       所以\(\small f(x)=\)\(\small\ x^5-18x^4 +118x^3 -348x^2+457x -210\)
\(\qquad\)\(\quad\)\(\quad\)\(\>\)\(=\small (x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-7)\).
       所以方程\(\small f(x)=0\)解集为\(\mathscr{A}\)\(=\left\{1，2，3，5，7\right\}\).

2、设整系数多项式函数\(\small f(z)=\small (z^{12}  - 4z^{10} - 16z^8  + 56z^6  + 32z^4  + 128z^2 - 512 \)，求\(\small f(z)\)在复数域上的因式分解，并求\(\small f(z)=0\)的解集.

      解法1：\(\small (z^{12}  - 4z^{10} - 16z^8  + 56z^6  + 32z^4  + 128z^2 - 512 \)
\(=\small (z^{12}  - 4z^{10}) - (16z^8  - 64z^6)  - (8z^6-32z^4) + (128z^2 - 512) \)
\(=\small (z^2  - 4)(z^{10}-16z^6-8z^4+128)\)
\(=\small (z^2  - 4)(z^4-16)(z^6-8)\).
\(=\small\displaystyle\prod_{k=0}^1 [z-\sqrt[2]{4}(cos{\frac{2kπ+0}2}+isin\frac{2kπ+0}{2})]\)\(\small\displaystyle\prod_{j=0}^3 [z-\sqrt[4]{16}(cos\frac{2jπ+0}{4}+isin\frac{2kπ+0}{4})]\)\(×\small\displaystyle\prod_{m=0}^5 [z-\sqrt[6]{8}(cos\frac{2mπ+0}{6}+isin\frac{2mπ+0}{6})]\).
       若令\(\mathscr{A}_1=\)\(\left\{\sqrt[2]{4}(cos\frac{2kπ+0}{2}+isin\frac{2kπ+0}{2})|k=0,1\right\}\)；
\(\mathscr{A}_2=\)\(\left\{\sqrt[4]{16}(cos\frac{2jπ+0}{4}+isin\frac{2jπ+0}{4})|j=0,1,2,3\right\}\)；
\(\mathscr{A}_3=\)\(\left\{\sqrt[6]{8}(cos\frac{2mπ+0}{6}+isin\frac{2mπ+0}{8})|m=0,1,2,3,4,5\right\}\)；则方程\(\small f(z)=0\)的解集\(\mathscr{A}=\)\(\mathscr{A}_1\)\(\cup\)\(\mathscr{A}_2\)\(\cup\)\(\mathscr{A}_3\).

        解法2：\(\small (z^{12}  - 4z^{10} - 16z^8  + 56z^6  + 32z^4  + 128z^2 - 512 \)
\(=\small (z^{12}  - 4z^{10}) - (16z^8  - 64z^6)  - (8z^6-32z^4) + (128z^2 - 512) \)
\(=\small (z^2  - 4)(z^{10}-16z^6-8z^4+128)\)
\(=\small(z^2  - 4)(z^4-16)(z^6-8)\).
\(=\small(z^2  - 4)^2(z^2+4)(z^2-2)(z^4+2z^2+4)\).
\(=\small (z-2)(z+2)(z-\sqrt 2)(z+\sqrt 2)(z-2i)(z+2i)\)\([z-\frac{\sqrt 2}{2}(1-{\sqrt 3}i)][z+\frac{\sqrt 2}{2}(1-{\sqrt 3}i)]\)\([z-\frac{\sqrt 2}{2}(1+{\sqrt 3}i)][z+\frac{\sqrt 2}{2}(1+{\sqrt 3}i)]\).
       所以，方程\(\small f(x)=0\)的解集为
\(\mathscr{A}=\)\(\left\{±2，±\small\sqrt 2，±2i，±\frac{\sqrt 2}{2}(1-{\sqrt 3}i)，±\frac{\sqrt 2}{2}(1+{\sqrt 3}i)\right\}\).

3、求有理a、b，使下述多项式有重因式，并求出重因式及其重数：\(\small x^4\)+\(\small ax^3\)+\(\small (a-b)x^2\)+\(\small bx+1\).

       解：根据重因式判定定理和艾森施坦(Eisensrein)判别法:
       因为\(\small f(x)\)=\(\small x^4\)+\(\small ax^3\)+\(\small (a-b)x^2\)+\(\small bx+1\)；所以\(\small f′(x)\)=\(\small 4x^3\)+\(\small 3ax^2\)+\(\small 2(a-b)x\)+\(\small b\)；
又因为1=1×1=(-1)×(-1);所以x=1必为方程组\(\begin{cases}
x^4+ax^3+ (a-b)x^2+ bx+1=0&(1)\\ 4x^3+3ax^2+2(a-b)x+b=0&(2)
\end{cases}\)的解，把x=1代入方程组整理得\(\begin{cases}
a+1=0&(1)\\5a-b+4=0&(2)
\end{cases}\)解之得\(\begin{cases}
a=-1\\b=-1\end{cases}\)；所以，当a=b=-1时，多项式\(\small x^4\)+\(\small ax^3\)+\(\small (a-b)x^2\)+\(\small bx+1=\)\(\small x^4-\)\(\small x^3-\)\(\small x+1=\)\(\small (x-1)^2(x^2+x+1)\)有二重因式\((x-1)^2\)；同理:当a=b=1时，多项式\(\small x^4\)+\(\small ax^3\)+\(\small (a-b)x^2\)+\(\small bx+1=\)\(\small x^4+\small x^3+\small x+1=\)\((x+1)^2(x^2-x+1)\)有二重因式\((x+1)^2\).

金瑞生

春风晚霞 发表于 2023-1-29 17:57
解下列各题

1、 设\(\small f(x)=x^5-18x^4 +118x^3 -348x^2+457x -210\)，求方程\(\small f(x)=0\)解 ...

春风晚霞先生：您好！
       看了先生的解答，我很佩服！不过有两个疑问：
          （1）在高等代数里有要求写出的解集，其元素一定要各不相同的吗？第二题这样写出的解集就少了两个解。在我的记忆中，写解集就应该写出所有解，只在运用Cantor集合论时，解集元素才要求各不相同。
         （ 2）第三题既然\(a\),\(b\)为有理数，先生如何知道是整系数多项式。解题中1=1×1=(-1)×(-1);是否应改为：1=1×1x(-1)×(-1)?
按照第一题解法：则1，1，-1，-1应该是它的4个根，\(f(x)\)=\((x+1)^2(x-1)^2\), 可是\(a=-1\),\(b=1\)直接代入多项式可得\(f(x)\)=\(x^4-x^3-2x^2+(x+1)=x^3(x+1)-2x^2(x+1)+(x+1)\)=\((x+1)(x^3-2x^2+1)\)=\((x+1)[x^2(x-1)-x(x-1)-(x-1)]\)=\((x+1)(x-1)(x^2-x-1)\)矛盾
         由先生根据艾森施坦(Eisensrein)判别法解决第一题，我想当然理解成该定理的适用于判断整系数多项式。由于四十多年没去用过该定理，我已经很生疏了。
       不好意思，对该知识都已经生疏了，还在此瞎议论。先生莫怪才好。
      如果对一个具体多项式\(f(x)\)，只要求出\(f(x)\)和\(f'(x)\)的最大公因式\(d(x)\)就可知道，若x_0是\(d(x)\)=0的\(k\)重根，则x_0是\(f(x)\)=0的\(k+1\)重根。但这道题我真的不会。

春风晚霞

先生所提的两个问题，教科书中均有答案。(1)、在任何应用集合的领域，都强调集合中元素的互异性，重元只取一个。(2)、请阅读教材，查阅艾森施坦(Eisensrein)判别法自酌！

金瑞生

春风晚霞 发表于 2023-1-29 19:37
先生所提的两个问题，教科书中均有答案。(1)、在任何应用集合的领域，都强调集合中元素的互异性，重元只取 ...

不好意思，教材让我放在另一套房子里睡觉。

春风晚霞

那你还是去把你的教科书请出来，读懂、弄懂再来解决你想解决的问题岂不更好？

金瑞生

春风晚霞 发表于 2023-1-30 06:31
那你还是去把你的教科书请出来，读懂、弄懂再来解决你想解决的问题岂不更好？

尊敬的春风晚霞先生：您好！
        昨天晚上睡觉之时，我突然想到了一个定理：数域\(P\)上非常数的两个多项式\(f(x)\),\(g(x)\)不互素当且仅当\( res(f,g)=0\)。

       对于一个具体多项式\(f(x)\)，只要求出\(f(x)\)和\(f'(x)\)的最大公因式\(d(x)\)就可知道有无重因式。而对于先生给的第三题，根据该定理， \(f(x)\)，\(f'(x)\)不互素当且仅当\(res(f,f')=0\)。我认为先要由 \(res(f,f')=0 \)算出\(a\),\(b\)的可能值。不知妥否？请先生赐教。