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已知多项式 x^13+x+90 能够被 x^2-x+a 整除,其中 a 是整数,求 a

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发表于 2023-1-26 19:40 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問多項式

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x
发表于 2023-1-27 00:02 | 显示全部楼层
x=-1->88/(a+2)--->a<>-2
x=3->1594416/(a+6)--->a<>-1

事实上,

\[\frac{x^{13 }+ x + 90}{x^2 - x+ 2}=x^{11}+x^{10}-x^9-3 x^8-x^7+5 x^6+7 x^5-3 x^4-17 x^3-11 x^2+23 x+45\]

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謝謝  发表于 2023-1-27 14:04
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发表于 2023-1-27 09:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-1-27 09:27 编辑
Treenewbee 发表于 2023-1-27 00:02
x=-1->88/(a+2)--->a-2
x=3->1594416/(a+6)--->a-1


令 x = 0 => a | 90,令 x = 1 => a | 92
∴ a | 2

若 a = 1,令 x=-1 则有 \( (x^2-x+a) | (x^{13}+x+90)  \implies 3 | 88 \),矛盾。

若 a = -1,令 x=-2,则有 \( (x^2-x+a) | (x^{13}+x+90)  \implies 5 | (-2^{13} -2 +90) \),而 \( (-2^{13} -2 +90) = (-2)  \cdot (4)^6 - 2 + 90) = (-2 -2 +90) = 4 (mod 5)  \)
矛盾!

若 a=-2,x^2-x+a = x^2-x-2 = (x-2)(x+1),∴ x = 2 是方程  x^13+x+90 的(一个)根,但 2^13+2+90 显然不等于 0,矛盾。

经楼上验证, a=2 满足

\[ \frac{x^{13 }+ x + 90}{x^2 - x+ 2}=x^{11}+x^{10}-x^9-3 x^8-x^7+5 x^6+7 x^5-3 x^4-17 x^3-11 x^2+23 x+45 \]

∴ a=2 是所求的解。

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110 竹模 謝謝  发表于 2023-1-27 14:04
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发表于 2023-1-27 11:00 | 显示全部楼层
楼上 uk702 的解答已收藏。
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发表于 2023-1-27 11:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 时空伴随者 于 2023-1-27 11:40 编辑

由题意知,任给x,\(x^2-x+a\ne 0\),即判别式1-4a<0,a>1/4。验证a=2即可!
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发表于 2023-1-28 20:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-1-28 20:46 编辑



上面是手工计算的思路,实际上可用 mathematica 编程计算:



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謝謝老師  发表于 2023-1-30 01:12
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发表于 2023-2-12 14:46 | 显示全部楼层

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