科学爱好者的数学探寻与认知

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科学爱好者的数学探寻与认知

撰文 鲍海飞 2023-02-01

没有想象的世界，世界无法想象，两者都是难以想象的。如何理解这个世界？通过何种方式认知这个世界呢？

现代教育使得我们快速地掌握了现代科学知识和体系。数理化更是我们认知世界和创造的重要学科和工具。数学无疑是所有学科中至关重要和必不可少的学科，是一个基础性的工具和学科。数学研究的源头在哪里？数学研究的目的是什么？数学的根本是什么？如果我们能够回答这三个问题，我们就会对数学有更深入的了解和认知。

数学始于计数与交易。历史记载，大约公元前 3000 年，古印度就有数字的记载和使用，并且有十进制的计算方法。公元 3 世纪，古印度的一位学者发明了阿拉伯数字。或许，这涉及到最原始的统计与管理方式。一个团体、家族的成员构成，打猎收获了几只动物等。我们需要用石子或者搬着手指头来计算，心中的一一对应和映射概念就逐渐产生了，难以言说的‘抽象’开始了，自然数随之出现。拉丁词汇‘计算’就是关于‘石子的处理’(The latin word ‘calculation’ means ‘ a handling of pebbles’)。从这个角度来说，数学属于自然。而当交易出现时，美丽的贝壳与一颗樱桃成了美丽的交换，则发生了入与出，借与贷的问题，正、负数应运而生。猎物的分配，食物的分配，化整为零，分数显现了。交易的过程中，一个重要的事实是，字母的出现，为现代科学的形成奠定了基础，它简洁明了，指代清晰。希腊人在公元前 12 世纪左右，从腓尼基商人那里学到了闪米特字母体系，经过不断简化，使之方便使用。这构成了现代英语、俄语、阿拉伯语等字母体系的基础。

数学始于丈量与观测。领地的概念，是一个有趣的事实。大型动物都有领地的概念。土地的占有、土地的分封与土地的丈量与分配有直接关系。土地的大小对应财富的多少。古时，人类一旦发现动植物生长的奥秘，一旦发现了季节循环往复的现象，那么他就有可能去观察，寻找如何去培育繁育，而不是坐享其成。夜晚繁星的降临无疑是人类仰望星空最大的好奇和最大的困惑。困惑和兴趣相伴而生，观察和掌握自然运行的规律就开始了。古埃及人根据天狼星的出现便开始了春耕活动，古希腊人痴迷于巴比伦人的占星术，中国 5000 年前就有‘立竿见影’（圭表）用以计时。‘周期’、‘太阳历’应运而生，祭祀活动以及‘神秘’学开始了，规律也就掌握在某些人的手中，智慧与文明渐渐而来。公元前古希腊人、天文学家帕恰斯为了测量天球上的角度和距离，开创了三角学。正弦（sine）一词始于 15 世纪的阿拉伯人雷基奥蒙坦（1464 年，著作《论各种三角形》）。余弦和余切（cosine，cotangent）为英国人根日尔在 1620 年他的《炮兵测量学》中出现。后来又产生了正割、正切、余割等函数标识。最后经过逐步简化，欧拉在 1748 年引用，才得到推广使用。勾股定理也就自然而然出现了。三角函数踏上了科学的征程。

数学始于音乐与图形。当伽利略从路过的铁匠铺听到了悦耳的铁锤击打声音之后，亦或从琴弦的美妙音色中，悟出了万物皆数的道理之后，科学探索之路便开始了。后来，许多著名的科学家都对‘弦’论产生了兴趣并进行研究。以数生数造就了绚烂的数字世界。数学是人抽象和构造的模拟工具，因而在数学内部发现存在的规律是不足为怪的。比如所谓的斐波那契数列 1 1 2 3 5 8 之类的存在，这个数列又与自然中存在的许多结构和数相关。如，这一数列跟什么花瓣数对应等等，以及黄金分割数的构成都可以由此构造出。从自然数构造出无理数（姑且如是说）是数学史上的奇迹，是毕达哥拉斯学派发现的，他们发现：‘平方数不能由两个相等的平方数构成（注：这里的平方数是指自然数）（no ‘square’ number can be broken up into two equal square numbers. √(1^2+1^2)=√2 ）’。无理数的出现，一开始，让人不知所措。但后来，这无疑扩大了人的眼界和认知。无理数是无限不循环的数，其内在深意有许多东西值得品味。数学的产生与图形有更加密切的联系，因为它更加直观，可作为信息的载体与传递。据说，一个腓尼基木匠，一次外出干活，忘记携带一个工具，遂拿起刀具在一个木板上刻下某个图案，让助手携带回家交给妻子去取。助手回家将刻有图案的木板交给木匠的妻子，那木匠的妻子立刻拿了工具交给助手。助手大为惊讶。后来，许多人像木匠学习，木匠将他的各种图案记号传授给大家，后该方法广为流传。非整数维度，也就是分形的发现，是一个重要的自然认知过程。1890 年，意大利数学家皮亚诺，对一条直线进行某种规则下的拆分和迭代，发现了一个奇妙的图形世界，利用一条曲线就能够填满一个正方形。这似乎意味着，这条曲线就是一个正方形。由此，人类逐渐发现了上帝的指纹，自然万物自我重复构造的密码。如雪花、树木、山峦的构造。以及曾经名噪一时的英国海岸线有多长的问题等。分形的方法为动画设计等提供了新的视角。

数学始于想象与逻辑。所谓客观法，就是从看到的、听见的、感知到的，然后经过人类加工，构成了我们的认知，就是‘形而上’之途径。从这一点说，数学的起源是个形而上的学科。但若从另外一种角度出发，就是完全从假设、公设、人为假定的公理开始的研究，那么就属于从逻辑学的研究为起点。古希腊时芝诺（Zeno）就曾经这样假想，若一个空间一定置于另一个空间之内而存在，那么，就可以‘递归’推测出空间是无限的。芝诺的另一个著名悖论是阿吉里斯与乌龟赛跑的故事。无论阿吉里斯跑得怎样快，都永远无法追赶上乌龟。《庄子》里记载了‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’。无限分割、极限之类的问题应运而生。或云，诡辩之数已成，辩证辩论开始。这无疑更需要高度的抽象思维来完成，自然也是某种‘形而上’之路。

数学始于工程与创造。付利叶级数在科学史上占有重要的地位，是数据时域频谱分析等方面的重要方法和工具。当初，就是因为付利叶跟随拿破仑出征，拿破仑要了解大炮发射炮弹的可靠性，于是让他来研究。后来，付利叶从热学温度的传导研究开始，得到了当时颇有争议而著名的付利叶级数。同样，牛顿三大定律也是根据实际需要进行的研究而获得的发现。如为了了解炮弹能够弹射多远，物体下落的速度、作用力与反作用力等。为了了解速度的变化，微积分的概念自然而然就出现了。微积分成为现代科学分析的重要工具。

人类认知自然的过程就是不断的发现、想象、抽象和创造的过程，一旦发现了某个现象，人们就会去找数学、用数学来嵌套，构建模型解析。即便如简单的胡克定律和欧姆定律。从这方面来说，数学是最佳的唯一的工具选择。此外，没有其它路。

对数学的认知过程，也就是，人类如何用他自己的尺度和方式来理解自然的过程。“宇宙中最不可理解的事情就是，这一切居然是可以理解的！”爱因斯坦如是说。这个理解，就是用数学来理解。

数学是人类的记帐本，数学是宇宙的推演机。古希腊先贤毕达哥拉斯道出了万物皆数的道理。人类的智慧就是不断的用数学来构造。当数字太大或者太小，难以一一细列，于是科学计数法诞生了。再大的数都不再可怕。人们也很无奈，构造了√-1这样的东西，虚数产生了。从此，实数不再孤单，包含虚数的坐标诞生了。无意中，这契合了中国古老的阴阳虚实哲学思想。人们发现，虚数的使用带来了很多方便，比如，欧拉巧妙的定义了虚数（复数）与三角函数的关系，还有快速付利叶变换，乃至解析函数，无线电、物理学等领域中都用到了它。但，虚数的产生让人感觉到了无奈，它的物理意义到底是什么？至今，这还是人们探索的问题。

数学的演变，从不知不觉，到渐知渐觉；始于简单，至于复杂；始于具体，至于抽象。试错，重复，再错，再试。这就是研究的过程。一旦有了模型，数学便是一种重要的统计、计算、设计和模拟的工具，更重要的是，它能指导预言一定的趋势和发展方向。

一个热爱科学的人，一个仔细深研科学的人，他越研究，就越感觉数学的奥秘与神奇。数学为我们缔造出了一个生动、完美、自由的世界，它又为我们呈现出一个质朴、纯真、虚灵的魔幻世界。没有天马行空的思想，又哪里会有脚踏实地的探索。在探索的路上，哲学是启蒙的智者，科学是率真的圣徒。哲学是思想的先行者，科学是自然的探索者。

任在深

纯粹数学是宇宙的缔造者！
纯粹数学是关于宇宙结构和结构关系的科学！