\(\large\textbf{勾股数组全集}\)

elim

定义 记\(\gcd(a,b)\)为\(\,a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}\)的最大公因素．
引理 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)=\gcd(a\pm b,b),\;\gcd(a,c)=1\implies\gcd(a,b)=\gcd(a,cb).\)

定义 称\(\;G=\{\{a,b,c\}\subset\mathbb{N}^+:\;a^2+b^2=c^2\}.\) 为勾股数组全集。
定理 勾股数组全集
\((\dagger)\quad G=\{\{k(n^2-m^2),2kmn,k(n^2+m^2)\}{\large\mid}2\nmid(m+n),\,\gcd(m,n)=1.\,\small(k,m,n\in\mathbb{N}^+)\}\)
证明: 给定勾股数组 \(a,b,c\in\mathbb{N}^+,\)不妨设\(\,\gcd(a,b,c)=1,\,a\equiv c\equiv 1\pmod{2}.\) 则
\(\qquad\)对\(\,u=(c+a)/2,\,v=(c-a)/2\) 有 \(4uv=c^2-a^2=b^2,\;(b/2)\in\mathbb{N}^+.\) 据引理，
\(\qquad\gcd(u,v)=\gcd(u-v,v)\overset{\gcd(a,2)=1}{=\hspace{-1mm}=\hspace{-1mm}=\hspace{-1mm}=}\gcd(a,2v)=\gcd(a,c-a)=\gcd(a,c)=1\)
\(\therefore\quad uv=(b/2)^2,\;u= n^2,\,v=m^2,\,\gcd(m,n)=1,\;2\nmid (m+n)\;(2\nmid ac)\). 可见
\(\qquad a=n^2-m^2,\,b=2mn,\,c=m^2+n^2.\) 即对\((\dagger)\)有: \(LHS\subset RHS.\)
\(\qquad\)反向的包含关系是显而易见的\(\quad\square\).