\(\textbf{APB}\large\textbf{先生的'无穷大循环正整数'悖论}\)

elim

APB先生的思想其实有人之前已经发表过. 参见顽石，李明波.的帖子。

elim

这些人都在制造悖论，其中不少人已经被人忘却。

设 \(x=\dot{1}\dot{2},\;y=\dot{2}\dot{1},\;则一方面有 10x +1=y,\;x < y.\) 另一方面又有
\(10y +2 = x,\; y < x.\) 所以在允许无穷大正整数的数学里，大小比较的三分律失效。

elim

APB先生称无穷大整数与无尽小数逻辑等值，这也难怪，他就没懂过逻辑。

APB先生

elim

APB先生的\(0.\dot{9}\in\big\{1-\frac{1}{10^k}\big\}_{k=1}^\infty\)说明他连自己都忽悠，所以尽管不住胡扯，也很无辜.

APB先生

elim

对任意正整数 \(k\)，\(1-10^{-k}\) 是有限小数，所以序列 \(\{1-10^{-k}\}_{k=1}^\infty\)
不含无尽小数\(0.\dot{9}\). APB先生的把戏只能忽悠他自己。

APB先生

elim 发表于 2023-4-12 20:03
对任意正整数 \(k\)，\(1-10^{-k}\) 是有限小数，所以序列 \(\{1-10^{-k}\}_{k=1}^\infty\)
不含无尽小数\ ...

当正整数 \(k\to\infty\) 时，就有了无尽小数 \(1-10^{-\infty}=1-0.\dot{0}1=0.\dot{9}9\) 。你长期坚持的 \(\lim\ 0.\dot{9}\ =\ 1\ \) 是错误的，跟 \(\lim9=10\) 是性质相同的搞笑，是导致矛盾 1=0 的大谎言，是数学界流传百年的大耻辱，是妨碍人类进步的大障碍。

elim

APB先生 发表于 2023-4-12 05:35
当正整数 \(k\to\infty\) 时，就有了无尽小数 \(1-10^{-\infty}=1-0.\dot{0}1=0.\dot{9}9\) 。你长期坚 ...

第一，这个序列不是其极限，也不含其极限。
第二，\(10^{-\infty}\) 没有 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}10^{-n}=0\) 以外的解释；
第三，\(0.\dot{0}1,\;0.\dot{9}9\) 不是无尽小数的正常表达形式，它们可以勉强解读为 \(0.\dot{0}=0,\) 及 \(0.\dot{9}\).

最后，这些东西不能帮助楼主获得"含无穷大整数的自然数系"的算术自洽性。

elim

APB先生认为我卑鄙地算错了极限 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}10^{-n}\). 我们来拆解一下这个极限。
对任意 \(\varepsilon > 0\) 对 \(n>\lceil 1/\varepsilon\rceil\) 有\(\small |10^{-n}-0|=\dfrac{1}{10^n}< \dfrac{1}{n} < \varepsilon.\) 所以按照
极限的定义，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}10^{-n}=0.\)
不过我也不认为 APB先生不懂极限就卑鄙。他就是没啥自知之明而已。