x^(n)+y^(n+1)+z^(n+2)=w^(n+3)

王守恩

已知  n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

试证:  \(x^{n}+y^{n+1}+z^{n+2}=w^{n+3}\)  有 >1 的正整数解。

n≡模6余2：
\(\big((3)^{\frac{u}{6n-4}}\big)^{6n-4}+\big((3)^{\frac{u}{6n-3}}\big)^{6n-3}+\big((3)^{\frac{u}{6n-2}}\big)^{6n-2}=\big((3)^{v}\big)^{6n-1}\)
\(其中u,v由u=v*(6n-1)-1=s*LCM(6n-4,6n-3,6n-2)\)解得。

n≡模6余3：
\(\big((a^{6n+0}-2)^{\frac{u}{6n-3}}\big)^{6n-3}+\big((a^{6n+0}-2)^{\frac{u}{6n-2}}\big)^{6n-2}+\big((a^{6n+0}-2)^{v}\big)^{6n-1}=\big(a(a^{6n+0}-2)^{\frac{u}{6n+0}}\big)^{6n+0}\)
\(其中u,v由u=v*(6n-1)-1=s*LCM(6n-3,6n-2,6n+0)\)解得。

n≡模6余4：
\(\big((3)^{\frac{u}{6n-2}}\big)^{6n-2}+\big((3)^{\frac{u}{6n-1}}\big)^{6n-1}+\big((3)^{\frac{u}{6n-0}}\big)^{6n-0}=\big((3)^{v}\big)^{6n+1}\)
\(其中u,v由u=v*(6n+1)-1=s*LCM(6n-2,6n-1,6n+0)\)解得。

n≡模6余5：
\(\big((a^{6n+2}-2)^{v}\big)^{6n-1}+\big((a^{6n+2}-2)^{\frac{u}{6n+0}}\big)^{6n+0}+\big((a^{6n+2}-2)^{\frac{u}{6n+1}}\big)^{6n+1}=\big(a(a^{6n+2}-2)^{\frac{u}{6n+2}}\big)^{6n+2}\)
\(其中u,v由u=v*(6n-1)-1=s*LCM(6n+0,6n+1,6n+2)\)解得。

n≡模6余0：
\(\big((a^{6n+3}-2)^{\frac{u}{6n+0}}\big)^{6n+0}+\big((a^{6n+3}-2)^{v}\big)^{6n+1}+\big((a^{6n+3}-2)^{\frac{u}{6n+2}}\big)^{6n+2}=\big(a(a^{6n+3}-2)^{\frac{u}{6n+3}}\big)^{6n+3}\)
\(其中u,v由u=v*(6n+1)-1=s*LCM(6n+0,6n+2,6n+3)\)解得。

n≡模6余1：
\(\big((a^{6n+4}-2)^{v}\big)^{6n+1}+\big((a^{6n+4}-2)^{\frac{u}{6n+2}}\big)^{6n+2}+\big((a^{6n+4}-2)^{\frac{u}{6n+3}}\big)^{6n+3}=\big(a(a^{6n+4}-2)^{\frac{u}{6n+4}}\big)^{6n+4}\)
\(其中u,v由u=v*(6n+1)-1=s*LCM(6n+2,6n+3,6n+4)\)解得。

\(在这里:  a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......\)

王守恩

“1”是数学殿堂里最活跃的数，

\(1^n+2^3=3^2\)
\(1^{06}+2^3=3^2\)
\(1^{12}+2^3=3^2\)
\(1^{18}+2^3=3^2\)
\(1^{24}+2^3=3^2\)
\(1^{30}+2^3=3^2\)

\((2n^3)^{6}+(2n^2)^{9}=2^6n^{18}+2^{9}n^{18}=(2^{6}n^{18})(1+2^3)=(2^{6}n^{18})(3^2)=(24n^9)^2\)

\((n)^6+(2n^2)^3=(3n^3)^2\)

在这里：\(3^2-2^3=1\)
我们就找不出第2个\(x^a-y^b=1\)?

又，\(x^a+y^b=z^c\ 比主帖还难(3项是最难的)\)规律不好找，譬如：

2,3,6组合：3+6=2有解(2+1=3)，2+3=6无解，2+6=3无解,
3,4,6组合：3+6=4有解(18+3=9)，3+4=6无解，4+6=3无解,
3,6,8组合：3+6=8有解(18+3=3)，3+8=6无解，6+8=3无解，

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-2-11 13:35
“1”是数学殿堂里最活跃的数，

\(1^n+2^3=3^2\)

这六个方程若有解，需要先解
\[x^3-y^3=z^2\]

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-2-11 15:59
这六个方程若有解，需要先解
\[x^3-y^3=z^2\]

\(\big(a^3-1)^2\big)^2+\big(a^3-1\big)^3=\big(a(a^3-1)\big)^3\)

  a=2, 3, 4, 5, 6, 7, ....是这个吗(不是通解)？

如何肯定这6个(还有13楼)无解。我的软件往上根本走不了。

王守恩

1,\(\frac{\big((a^{8}-2)^{12}\big)^{2}+\big((a^{8}-2)^{8}\big)^{3}+\big((a^{8}-2)^{5}\big)^{5}}{\big(a(a^{8}-2)^{3}\big)^{8}}=1\)     a=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

2,\(\frac{\big((2^{8}-5^{3})^{210}\big)^{18}+\big((2^{8}-5^{3})^{135}\big)^{28}+\big((2^{8}-5^{3})^{180}\big)^{21}}{\big((2^{8}-5^{3})^{199}\big)^{19}}=1\)

3,\(\frac{\big((a^{28}-2)^{210}\big)^{18}+\big((a^{28}-2)^{199}\big)^{19}+\big((a^{28}-2)^{180}\big)^{21}}{\big(a(a^{28}-2)^{135}\big)^{28}}=1\)   a=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-2-11 08:31
已知  n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

试证:  \(x^{n}+y^{n+1}+z^{n+2}=w^{n+3}\)  有 >1 的正整 ...

\[n=2k+1\]

\[((x^{n+3}-2)^{\frac{(n+1)^2(n+3)}{2}})^n+((x^{n+3}-2)^{\frac{n(n+1)(n+3)}{2}})^{n+1}+((x^{n+3}-2)^{\frac{(n^3+3n^2+n+1)}{2}})^{n+2}=(x(x^{n+3}-2)^{\frac{n(n+1)^2}{2}})^{n+3}\]

王守恩

\(\big((a^{2}-5)^{08}\big)^{1}+\big((a^{2}-5)^{04}\big)^{02}+\big((a^{2}-5)^{03}\big)^{03}+\big((a^{2}-5)^{02}\big)^{04}+\big((a^{2}-5)^{2}\big)^{04}+\big((a^{2}-5)^{1}\big)^{08}=\big(a(a^{2}-5)^{04}\big)^{2}\)
\(\big((a^{3}-5)^{12}\big)^{2}+\big((a^{3}-5)^{06}\big)^{04}+\big((a^{3}-5)^{05}\big)^{05}+\big((a^{3}-5)^{04}\big)^{06}+\big((a^{3}-5)^{3}\big)^{08}+\big((a^{3}-5)^{2}\big)^{12}=\big(a(a^{3}-5)^{08}\big)^{3}\)
\(\big((a^{4}-5)^{16}\big)^{3}+\big((a^{4}-5)^{08}\big)^{06}+\big((a^{4}-5)^{07}\big)^{07}+\big((a^{4}-5)^{06}\big)^{08}+\big((a^{4}-5)^{4}\big)^{12}+\big((a^{4}-5)^{3}\big)^{16}=\big(a(a^{4}-5)^{12}\big)^{4}\)
\(\big((a^{5}-5)^{20}\big)^{4}+\big((a^{5}-5)^{10}\big)^{08}+\big((a^{5}-5)^{09}\big)^{09}+\big((a^{5}-5)^{08}\big)^{10}+\big((a^{5}-5)^{5}\big)^{16}+\big((a^{5}-5)^{4}\big)^{20}=\big(a(a^{5}-5)^{16}\big)^{5}\)
\(\big((a^{6}-5)^{24}\big)^{5}+\big((a^{6}-5)^{12}\big)^{10}+\big((a^{6}-5)^{11}\big)^{11}+\big((a^{6}-5)^{10}\big)^{12}+\big((a^{6}-5)^{6}\big)^{20}+\big((a^{6}-5)^{5}\big)^{24}=\big(a(a^{6}-5)^{20}\big)^{6}\)
\(\big((a^{7}-5)^{28}\big)^{6}+\big((a^{7}-5)^{14}\big)^{12}+\big((a^{7}-5)^{13}\big)^{13}+\big((a^{7}-5)^{12}\big)^{14}+\big((a^{7}-5)^{7}\big)^{24}+\big((a^{7}-5)^{6}\big)^{28}=\big(a(a^{7}-5)^{24}\big)^{7}\)
\(\big((a^{8}-5)^{32}\big)^{7}+\big((a^{8}-5)^{16}\big)^{14}+\big((a^{8}-5)^{15}\big)^{15}+\big((a^{8}-5)^{14}\big)^{16}+\big((a^{8}-5)^{8}\big)^{28}+\big((a^{8}-5)^{7}\big)^{32}=\big(a(a^{8}-5)^{28}\big)^{8}\)
\(\big((a^{9}-5)^{36}\big)^{8}+\big((a^{9}-5)^{18}\big)^{16}+\big((a^{9}-5)^{17}\big)^{17}+\big((a^{9}-5)^{16}\big)^{18}+\big((a^{9}-5)^{9}\big)^{32}+\big((a^{9}-5)^{8}\big)^{36}=\big(a(a^{9}-5)^{32}\big)^{9}\)

王守恩

加数指数是连续的，还有吗？

\(\big(4^{024}\big)^{1}+\big(4^{012}\big)^{2}+\big(4^{008}\big)^{03}+\big(4^{006}\big)^{04}=\big(4^{05}\big)^{05}\)

\(\big(4^{060}\big)^{2}+\big(4^{040}\big)^{3}+\big(4^{030}\big)^{04}+\big(4^{024}\big)^{05}=\big(4^{11}\big)^{11}\)

\(\big(4^{120}\big)^{3}+\big(4^{090}\big)^{4}+\big(4^{072}\big)^{05}+\big(4^{060}\big)^{06}=\big(4^{19}\big)^{19}\)

\(\big(4^{210}\big)^{4}+\big(4^{168}\big)^{5}+\big(4^{140}\big)^{06}+\big(4^{120}\big)^{07}=\big(4^{29}\big)^{29}\)

\(\big(4^{336}\big)^{5}+\big(4^{280}\big)^{6}+\big(4^{240}\big)^{07}+\big(4^{210}\big)^{08}=\big(4^{41}\big)^{41}\)

\(\big(4^{504}\big)^{6}+\big(4^{432}\big)^{7}+\big(4^{378}\big)^{08}+\big(4^{336}\big)^{09}=\big(4^{55}\big)^{55}\)

王守恩

这6个式子感觉分奇偶讨论两种情况即可，好像不行。
我是这样想的：4个指数， 总得有1个指数大(比另外3个)1，
4个指数：n,n+1,n+2,n+3,
肯定有2个偶数，指数大1不能选偶数。
肯定有2个3的倍数，指数大1不能选3的倍数。
模6是这样来的。
这6个式子感觉分奇偶讨论两种情况即可，试试？

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-2-20 22:01
\[n=2k+1\]

\[((x^{n+3}-2)^{\frac{(n+1)^2(n+3)}{2}})^n+((x^{n+3}-2)^{\frac{n(n+1)(n+3)}{2}})^{n+ ...

\(\big((x^{n}-2)^{\frac{(n+2)n^2}{2}}\big)^{n-1}+\big((x^{n}-2)^{\frac{(n-1)n^2}{2}}\big)^{n+2}+\big((x^{n}-2)^{\frac{n^3-2n+2}{2}}\big)^{n+1}=\big(x(x^{n}-2)^{\frac{(n-1)(n+2)n}{2}}\big)^{n}\)