x^(n)+y^(n+1)+z^(n+2)=w^(n+3)

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-3-5 11:42
太伟大了！！！就这么简单！！谢谢Treenewbee !

七边形数 m*(5m -3)/2 表为两个不同的三角数之和((x ( ...

七边形数 m*(5m -3)/2 表为两个不同的三角数之和的条件是m>1

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-5 11:49
七边形数 m*(5m -3)/2 表为两个不同的三角数之和的条件是m>1

3 边形数 m*(1m +1)/2 表为两个不同的三角数之和((x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2)的通解公式。
4 边形数 m*(1m -0)/2 表为两个不同的三角数之和((x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2)的通解公式。
5 边形数 m*(3m -1)/2 表为两个不同的三角数之和((x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2)的通解公式。
6 边形数 m*(2m -1)/2 表为两个不同的三角数之和((x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2)的通解公式。
7 边形数 m*(5m -3)/2 表为两个不同的三角数之和((x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2)的通解公式。
8 边形数 m*(3m -2)/2 表为两个不同的三角数之和((x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2)的通解公式。
9 边形数 m*(7m -5)/2 表为两个不同的三角数之和((x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2)的通解公式。
n(3...9) 边形数表为两个不同的三角数之和((x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2)的通解公式。

这公式太臭了!     m=1,2,3,4,5,......  "0"表示无解，"1"表示有解。

Ceiling[FractionalPart[(Table[Dimensions[FindInstance[
{m/2 ((m (2 n - 4))/(3 + Cos[n \[Pi]]) - (2 n - 8)/(3 + Cos[n \[Pi]]))
== (x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2, y >= x > 0}, {x, y}, Integers, 1]]
// Total, {n, 3, 9}, {m, 1, 19}] + 1)^-1]]

{{0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0},(3 边形数)
{0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},(4 边形数)
{0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1},(5 边形数)
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0},(6 边形数)
{0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},(7 边形数)
{0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0},(8 边形数)
{0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0}}(9 边形数)

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-3-5 16:15
3 边形数 m*(1m +1)/2 表为两个不同的三角数之和((x (x + 1))/2 + (y (y + 1))/2)的通解公式。
4 边形数 ...

这不是通解公式！

通解公式是这样的，比如三个三角数：
\[(x,y,z)=(n, \frac{n(n+1)-m(m+1)}{2m},\frac{n(n+1)+m(m-1)}{2 m})\]

Treenewbee

比如：

7 边形数的通解之一：
\[(x,y,z)=(n, 2n+1,n+1)\]

Treenewbee

解一元二次方程：x(x+1)+(x+k)(x+k+1)=n(3n-1)

解的表达式的根式可否开方

王守恩

(公式1): Table[FindInstance[{(x^2 + x + y^2 + y)/(m n - 2 m - n + 4)
== (2 m)/(3 + Cos[n \[Pi]]), y >= x > 0}, {x, y}, Integers, 1], {n, 3, 9}, {m, 1, 9}]

{{{}, {}, {{x -> 2, y -> 2}}, {}, {}, {{x -> 3, y -> 5}}, {}, {{x -> 5, y -> 6}}, {}}, {{},
{{x -> 1, y -> 1}}, {}, {}, {}, {{x -> 2,  y -> 5}}, {}, {}, {}}, {{}, {}, {{x -> 3, y -> 3}},
{{x -> 1, y -> 6}}, {}, {{x -> 3, y -> 9}}, {{x -> 5, y -> 10}}, {{x -> 1, y -> 13}},
{}}, {{}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {{x -> 5,  y -> 9}}, {}}, {{}, {{x -> 1, y -> 3}}, {{x -> 2,  y -> 5}},
{{x -> 3, y -> 7}}, {{x -> 4, y -> 9}}, {{x -> 2, y -> 12}}, {{x -> 6, y -> 13}},
{{x -> 7, y -> 15}}, {{x -> 8, y -> 17}}}, {{}, {{x -> 1, y -> 2}}, {}, {{x -> 4, y -> 4}},
{}, {{x -> 2, y -> 9}}, {}, {{x -> 4,  y -> 12}}, {}}, {{}, {{x -> 2, y -> 3}},
{{x -> 2,  y -> 6}}, {{x -> 1, y -> 9}}, {}, {{x -> 3, y -> 14}}, {{x -> 1, y -> 17}}, {}, {}}}

(公式2): Ceiling[FractionalPart[(Table[Dimensions[FindInstance[
{(x^2 + x + y^2 + y)/(m n - 2 m - n + 4) == (2 m)/(3 + Cos[n \[Pi]]),
y >= x > 0}, {x, y}, Integers, 1]] // Total, {n, 3, 9}, {m, 1, 9}] + 1)^-1]]

{{0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0},(3 边形数)
{0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},(4 边形数)
{0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1},(5 边形数)
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0},(6 边形数)
{0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},(7 边形数)
{0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0},(8 边形数)
{0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0}}(9 边形数)

(公式2)只是在(公式1)的外面套个框，(公式2)太臭了! 能不能让(公式2)漂亮一点。  

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-3-5 11:42
太伟大了！！！就这么简单！！谢谢Treenewbee !

七边形数 m*(5m -3)/2 表为两个不同的三角数之和((x ( ...

1. Table[Length[
   
2.   FindInstance[
   
3.     x (x + 1) + y (y + 1) == 2 n (m n - 2 n - m + 4)/(3 + (-1)^m), {x,
   
4.       y}, PositiveIntegers] /. {0, _} -> Nothing], {m, 3, 9}, {n, 1,
   
5.   20}]

复制代码

{{0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1},{0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1},{0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0},{0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0},{0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0},{0,1,1,1,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1,1,0,0}}

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-6 17:45
{{0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1},{0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1},{0,0,1,1, ...

谢谢Treenewbee！解题高手！

直角(斜边是整数)三角形，在3条边(斜边在整数位置)上取3个点，

可以把直角三角形分成了4个小三角形，要求4个三角形面积都是整数。

当斜边=n时，有a(n)种分法。n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,....

参考《数学中国论坛-数学期刊-几何教授的几何趣题》

我就是不会用这几个按钮(57楼的按钮)！

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-3-7 06:23
我就是不会用这几个按钮！谢谢Treenewbee！解题高手！

直角(斜边是整数)三角形，在3条边(斜边在整 ...

你的题目不知所云。画个示意图，举个例子。还有，什么按钮？你指的是MMA的函数？

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-7 08:22
你的题目不知所云。画个示意图，举个例子。还有，什么按钮？你指的是MMA的函数？

谢谢Treenewbee！解题高手！

直角(直角边是整数)等腰三角形，在3条边(直角边在整数位置)上取3个点，

可以把直角等腰三角形分成了4个小三角形，要求4个三角形面积都是整数。

当直角边=2n时，有a(n)种分法。n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,....

参考《数学中国论坛-数学期刊-几何教授的几何趣题》

Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == z (2 n - x)/2,
s3 == (2 n - y) (2 n - z)/2, s4 == (2 n) (2 n)/2 - s1 - s2 - s3},
{s1, s2, s3, s4}, Integers], {n, 2, 2}, {x, 1, 2 n - 1}, {y, x, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]

{{s1 -> 1, s2 -> 3, s3 -> 2, s4 -> 2}}
{{s1 -> 2, s2 -> 1, s3 -> 3, s4 -> 2}},
{{s1 -> 2, s2 -> 2, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 2, s2 -> 3, s3 -> 1, s4 -> 2}},
{{s1 -> 3, s2 -> 2, s3 -> 1, s4 -> 2}},

a(1)=0
a(2)=5
a(3)=27
a(4)=78

得到这样一串数：0, 5, 27, 78, 170, 315, 525, ......

我就是不知道怎么把这串数拉出来。谢谢Treenewbee！